GRAFICO OU FUNÇÃO

O termo gráfico em matemática, geralmente é usado quando estamos descrevendo uma figura por meio de uma condição que é satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representações gráficas mais comuns e importantes em matemática é o gráfico de uma função.

Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos: gráficos de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, gráfico cartesiano.

Como já vimos nos exemplos do capítulo anterior,o gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos ( [Maple Math]) do plano que satisfazem a condição [Maple Math], ou seja, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma ( [Maple Math]),com xvariando no domínio de f.

Os gráficos cartesianos permitem visualizar "a forma " geométrica de uma função e suas principais características.

Vamos praticar traçando gráficos de algumas funções. O quadro abaixo, à esquerda, mostra o gráfico da função y = x2 - 1.

Agora é com você!

(a) No quadro ao lado, modifique a expressão que define ypara obter a representação gráfica da função [Maple Math]

(b) Ainda usando o quadro ao lado, obtenha gráficos de outras funções, modificando a expressão usada para definir y.

Além disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x,y) do gráfico de uma função f, é igual ao valor desta função calculada em x, podemos obter o valor de f(x) por meio do gráfico desta função, simplesmente como a altura do gráfico correspondente ao ponto de abscissa igual a x.

Agora é com você!

Modifique o valor da função e da variável x e observe como o valor de f(x) pode ser obtido por meio da leitura do gráfico da função.

Como os exemplos anteriores mostraram, o gráfico de uma função é uma curva plana. A questão que surge agora é saber se qualquer curva plana representa o gráfico de alguma função.Para responder a esta pergunta, observe os gráficos abaixo e tente decidir qual deles representa o gráfico de alguma função. (Lembre-se: uma função é uma correspondência especial que a cada ponto de seu domínio associa um único ponto da sua imagem)

Verifique quais dos gráficos abaixo, são gráficos de funções:

(a)

[Maple Plot]

(b)

[Maple Plot]

(c)

[Maple Plot]

(d)

[Maple Plot]

(e)

[Maple Plot]

(f)

[Maple Plot]

Repare que se uma reta vertical x = a interceptar uma curva em um único ponto (a,b), então há somente um valor para f(a) e este valor é b. Se, por outro, a reta x = a intercepta a curva em mais de um ponto, então a curva não pode representar uma função porque, neste caso, dois valores diferentes estariam associados, pela função, à variável x = a. Assim, as curvas acima que representam gráficos de funções são aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptam em mais de um ponto, isto é, as traçadas nos quadros (a), (b), (d) e (f).

O gráfico de uma função é, portanto, uma curva plana com a característica especial que qualquer reta vertical só a intercepta em um único ponto.

Agora é com você!

(a) O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo x?

(b) E em relação ao eixo y?

(c) O que representam os pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo x?

Respostas

Exemplo 2

Considere a função definida por [Maple Math].

(a) Calcule f(0), f(1) e f(2).

(b) Esboce o gráfico desta função.

Solução:

(a) Uma função é uma regra. Neste exemplo em particular, a regra é a seguinte: se [Maple Math], então o valor de f(x) é dado por 1-x. Se, por outro lado, x>1, então o valor de f(x) é dado por [Maple Math]. Assim, temos que f(0) = 1-0 = 1, f(1) = 1-1= 0 (repare que 1 £ 1) e f(2) = [Maple Math].

(b) Para traçar o gráfico de f, observe que se x£1, então f(x) = 1-x. Assim, a parte do gráfico de f que está à esquerda da reta vertical x = 1 coincide com a reta y = 1 -x, cuja declividade é 1 e a interseção com o eixo y é o ponto (0,1). Se x> 1, então [Maple Math]e a parte do gráfico de f que está à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de [Maple Math], que é uma parábola.

O gráfico desta função está esboçado ao lado. O disco sólido indica que o ponto em questão faz parte do gráfico da função e o círculo vazado indica que o ponto não faz parte do gráfico da função.

[Maple Plot]

A função do exemplo acima é definida por partes. Já vimos um outro exemplo de funções deste tipo onde os "pedaços" da função se juntavam e formavam uma linha contínua. (Veja exemplo 4 - Capítulo 5). Intuitivamente, dizemos que uma função é contínua na reta quando o seu gráfico é representado por uma curva contínua, sem quebras ou rupturas, que pode ser traçada sem tirar o lápis do papel. O gráfico da função deste exemplo apresenta uma "quebra" ou "salto" no seu traçado, no ponto x = 1. Neste caso, dizemos que a função é descontínua ou que apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Agora é com você!

Os gráficos das funções definidas por partes podem ser uma linha contínua ou podem apresentar saltos.

Conhecendo-se a expressão analítica de uma função definida por partes, é possível saber de qual destes dois tipos é o seu gráfico? Em caso afirmativo, explique qual a condição necessária para que a função seja contínua.

Respostas

O gráfico, em cada um dos exemplos abaixo, representa uma função [Maple Math].

•O que se pode concluir em relação ao número de raízes reais da equação [Maple Math]?

( a )

( b )

( c )

•Exercício 3

Nos três exemplos do exercício 2, determine os valores de xpara os quais y> 0 e os valores de xpara os quais [Maple Math].

Abaixo, estão os gráficos das funções y=2 x-1e y=xtraçados em conjunto.

Determine, graficamente, o ponto de interseção das duas retas.( Use a técnica de "zooms sucessivos".)

•Como se pode determinar analiticamente os pontos onde o gráfico dessas funções se interceptam?

•Exercício 4

Na figura abaixo, estão representados em conjunto, os gráficos das funções [Maple Math]e z=x.

•Quais são os pontos de interseção dessas curvas?

•Exemplo 3

Considere agora a função [Maple Math].

•Qual o seu domínio?

Abaixo, com o auxílio do computador, traçamos o gráfico dessa função e calculamos o seu valor no ponto [Maple Math].

•Este gráfico está correto?

•Tente calcular o valor dessa função no ponto [Maple Math]. O que acontece?

•Compare o domínio de [Maple Math]com o de y = x+1.

•Esta função é igual a função y=x+1? Por quê?

Dizemos que duas funções y=f(x) e y=g(x) são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x)=g(x)para todos os valores de xdo seu domínio comum.

Assim, no exemplo acima as funções [Maple Math]e [Maple Math]não são iguais porque têm domínios diferentes. O ponto x=1pertence ao domínio de y= x+1, mas não pertence ao domínio de [Maple Math].