Grupos, Grupos finitos e Subgrupos

Seja G um conjunto não vazio e seja * : G x G  G uma operação

sobre G. Dizemos que esta operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G,

e denotamos por (G, *) se, e somente se, os seguintes axiomas estiverem verificados:

• G1 : Propriedade Associativa - Quaisquer que sejam x,y,z E G, temos

(x * y)* z = x * (y * z).

• G2: Existência de elemento neutro - Existe em G um elemento e tal que para todo x E G. temos

x*e=e*x=x.

• G3 : Existência de inverso - Para todo g: e G, existe E G tal que

x´ *x = e = x* x'

O axioma G1 é a lei ou propriedade associativa da operação *; G2 nos garante a existência do elemento neutro e , finalmente, o axioma G3 estabelece a existência do simétrico de cada elemento G.

Portanto, (G,*) é grupo se, somente se, (G,*) é um monoide que satisfaz a condição suplementar: todo elemento de G é simetrizável, para a operação *

Se além disso a operação satisfizer o axioma

Se (G,*) é um grupo e se a operação * satisfaz o axioma ( lei ou propriedade comutativa).

• G4: Propriedade Comutativa - Quaisquer que sejam x, y E G, temos:

x*y = y*x,

Dizemos que (G, *) é um grupo comutativo ou abeliano.

EXEMPLO 1

A operação usual de adição em R satisfaz as condições

(x+y)+z=x+(y+z)

0+x=x=x+0

(-x)+x=0=x+(-x)

x+y=y=x

Portanto, (R,+) é um grupo comutativo, que será denominado grupo aditivo dos números reais. Obtém-se, de modo análogo, o grupo aditivo (Z,+) dos números inteiros e o grupo

(Q,+) dos números racionais.

O conjunto R* dos números reais não nulos é fechado em relação a operação usual de multicação em R, pois

x≠0 e y≠0  xy≠0

(xy)z=x(zy)

1.x=x=x.1

xˉ¹.x=1=x. xˉ¹

xy=yx

portanto, (R*, .) é grupo abeliano, que é denominado grupo multiplicativo dos números reais. Obtém-se, de modo análogo, o grupo multiplicativo ( Q*, . ) dos números racionais.

O conjunto R*+ é fechado em relação á operação usual de multiplicação em R, pois

x>0 e y>0  xy>0

e é fácil verificar que a operação . em R*+ satisfaz os axiomas G1, G2, G3 e G4; portanto, (R*+ , . ) é um grupo comutativo, que é denominado grupo multiplicativo dos números reis positivos, Obtém, de modo análogo, o grupo multiplicativo (Q*+ , . ) dos números racionais positivos.

EXEMPLO 2

Grupo aditivo de matrizes: (Mm£n(Z); +); (Mm£n(Q); +); (Mm£n(R); +) e (Mm£n(C); +)

representam os grupos aditivos das matrizes com entradas em Z; Q; R e C respectivamente. Em todos os grupos citados acima as operaçôes de adição

multiplicação mencionadas são as usuais de cada conjunto.

GRUPOS FINITO

Se (G,*) é um grupo e se o conjunto G é finito, diremos que G é um grupo finito, neste caso , o numero de elementos de G – que é indicado pela notação o(G) – será denominado ordem do grupo G, caso contrário, diremos que G é grupo infinito e que sua ordem é infinita

Seja G= { .... } um grupo finito de ordem n em relação a operação *. Neste caso, a tábua da operação * passa a ser denominada tabua do grupo. Em geral, o primeiro elemento indica o elemento neutro de G. Reciprocamente, suponhamos que esteja dada a tabua T de uma operação * sobre o conjunto.

G= { .... }

Para verificar que T é a tabua de um grupo temos que mostrar que os axiomas G1, G2, e G3 estão satisfeitos. Por um simples exame da tábua T verifica-se, facilmente, se são válidos ou não os axiomas G2 e G3. No entanto, não existe uma regra pratica para determinar quando a operação * é associativa por um exame da tábua T temos que calcular todos os compostos ( * ) * e * ( * ) para i,j,k = 1,2 ....., n. Portanto, precisamos determinar 2n³ compostos de três termos cada um.

EXEMPLO 1

Sejam G = { 2,4,6,8} e consideremos a operação * determinada pela seguinte tábua

* 2 4 6 8

2 4 8 2 6

4 8 6 4 2

6 2 4 6 8

8 6 2 8 4

Observamos o seguinte 1º) A terceira coluna é igual a coluna fundamental e a terceira linha é igual a linha fundamental; portanto, 6 é o elemento neutro para a operação 2º) A tabua é simétrica em relação a diagonal principal; portanto , a operação * é comutativa 3º) O elemento neutro 6 aparece uma única vez em cada linha e cada colina da tabua acima e, além disso, suas posições são simétricas em relação a dional principal, portanto, cada elemento de G é simetrizavel para a operação *. Precisamente os simétricos de 2,4,6 e 8 são, respectivamente 8,4,6,e 2.

Finalmente, falta considerar a propriedade associativa: (a*b)*c= a*(b*c), onde a,b e são elementos de G. Notemos que se um destes elementos é igual ao elemento neutro 6, então a igualdade acima é verdadeira; portanto, é necessário mostrar que (a*b)*c= a*(b*c) para a,b,c percorrendo 2,4 e 8. Restam assim 54 compostos de 3 termos cada um. Em resumo, a operação determinada pela tabua define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto G= {2,4,6,8}

SUBGRUPO