Hipérbole

NOTA DE AULA

Hipérbole é uma seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone. Pode ser também definida como o conjunto dos pontos para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Consideremos, fixados no plano, dois pontos F1 e F2. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante positiva menor do que a distância entre os pontos F1 e F2. Escrevendo esta constante como 2a, temos:

Hipérbole = {P ӏ ӏ d(P; F1) – d(P; F2) ӏ = 2a}.

Esta curva plana tem duas partes chamadas ramos da hipérbole. Veja o seu desenho na figura:

A curva com a equação x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 é denominada hipérbole na posição-padrão. A equação fica invariante quando x é substituído por –x ou y é substituído por –y, dessa forma, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos. Para encontrar as intersecções com o eixo x, fazemos y = 0 e obtemos x^(2 ) = - a^2 e x = ± a. Porém, se fizermos x = 0, obteremos y^2 = -b^2, o que é impossível; assim, não há intersecção com o eixo y. De fato, da equação obtemos:

x^2/a^2 = 1 + y^2/b^2 ≥ 1, o que mostra que x^2 ≥ a^(2 ) e, portanto, ӏxӏ = √(x^2 ) ≥ a. Assim, temos x ≥ a ou x ≤ -a. Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, cada uma delas chamadas de ramo.

Para esboçar a hipérbole é útil primeiro traçar suas assíntotas, que são as retas y = (b ̸ a)x e y = -(b ̸ a)x. Ambos os ramos da hipérbole tendem para as assíntotas; isto é, ficam arbitrariamente próximos das assíntotas. Isso envolve a ideia de limite.

Observação: trocando os papéis de x e y, obtemos uma equação da forma

y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1, que também representa uma hipérbole.

ATIVIDADE PROPOSTA

Aplicações da hipérbole são um pouco mais difíceis de encontrar. Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e próximo a uma parede, vemos duas regiões bem iluminadas, cujos contornos são hipérboles, veja figura:

REFERÊNCIAS:

Stewart, James. Cálculo, volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

Rede Internacional Virtual de Educação. Teoria de Hipérboles. http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_hiperbole/introteohiperbole.htm

Professores da UFF. Hipérbole: Sistemas de coordenadas e distâncias no plano. http://www.professores.uff.br/kowada/ga/ead/ga1V1aula20.pdf