INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE DERIVADOS

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA

A derivada de uma função num ponto x é a declividade dessa função nesse ponto. Sabe-se porém, que a declividade a de uma reta é a tangente do ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo X , ou ainda , que é a taxa de variação da distância vertical relativa à variação da distância horizontal. Então: .

A diferença é chamada acréscimo ou incremento da variável x relativa a x0 e a diferença acréscimo ou incremento da função f relativa a x0. O quociente recebe o nome de taxa média de variação ou razão incremental de f relativa a x0.

f s f t

Q

P P

Considerando os gráficos acima , podemos notar que ,fazendo o ponto Q se aproximar do ponto P ,isto é , fazendo h tender a zero , observamos que a reta s, secante ao gráfico, vai mudando o seu coeficiente angular , se aproximando de sua posição limite, ou seja , aproximando-se da reta t, tangente ao gráfico, cujo coeficiente angular é dado por : tg .

Dessa forma podemos dizer que a derivada de uma função f no ponto x é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x .Para obtenção dessa reta tangente , fazemos o uso da fórmula da Geometria Analítica:

y - y = a ( x - x ) , onde a = f’( x ) = e P(x ; y ).

Questão 1. Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5 , no ponto de abscissa

x = 2.

Solução:

x = 2 y = - 3 e P( 2 , - 3 )

f’( x ) = 2 x – 6 a = f’( 2 ) = 2(2) - 6 a = -2 e a equação da reta será: y + 3 = - 2 (x – 2 ) y = -2 x + 1

Questão 2. Achar a equação da reta tangente à curva y = x³ - 2 x² + 4 , no ponto de abscissa

x = - 1.

Solução:

x = - 1 y = 1 e P(- 1 , 1)

f’( x ) = 3x² - 4x f’( - 1) = 7 a = 7.

Equação da reta: y – 1 = 7 ( x + 1) y = 7 x + 8

Variação de uma função

Crescimento e decrescimento de uma função

Teorema: Dada a função a função f , derivável em ]a , b[, então:

*se f’(x)>0 para todo x ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[.

*Se f’(x)<0 para todo x ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.

Desta forma para