Introdução Ao Calculo

1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função quadrática f:R->R é definida por f(x)= ax²+bx+c

Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão a x² + b x + c = 0

Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.

x y = -x2 + 10x - 14

2 y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2

3 y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7

4 y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10

5 y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11

6 y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10

7 y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7

8 y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2

Vamos analisar a tabela acima que contém alguns pontos deste gráfico:

Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.

Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.

Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.

1.1 Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas

De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).

Na função y = -x² + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).

1.2 Raiz da Função Quadrática

Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois

pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.

Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.

Sendo y = -x² + 10x - 14 a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:

Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são, portanto as raízes desta função.

1.3 Vértice e Concavidade da Parábola

Podemos observar que no gráfico da função y = -x² + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a sua concavidade é para baixo.

Agora vamos observar o gráfico da função y = x² + 3x + 1:

Como podemos perceber, está outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.

Vamos identificar os coeficientes destas funções.

Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:

a= -1

b= 10

c= -14

Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:

Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.

O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0:

Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:

A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:

Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:

Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.

Seus coeficientes são:

Então para a abscissa do vértice xv temos:

A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:

Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:

Da outra maneira o cálculo seria:

Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.

1.4 Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática

Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.

Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.

Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.

1.4.1 Valor Mínimo de Ponto Mínimo da Função Quadrática

Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:

Os seus coeficientes são:

Esta função é côncava