LEI DE GRAHAM

(SISMOLOGIA E FENÔMENOS DE RESSONÂNCIA

Oscilações e vibrações são comuns nos objetos que nos rodeiam, quer nas estruturas e máquinas que construímos, quer ao nível microscópico, nos átomos e nas moléculas. Um oscilador harmônico está sujeito a forças cuja resultante deve ser de restituição e do tipo elástica. Para caracterizar o movimento do oscilador harmônico, tenhamos em consideração que a força elástica exercida sobre uma partícula de massa m, quando a afastamos da posição de equilíbrio, é uma força de restituição F porque se opõe ao afastamento x do ponto de equilíbrio. Existem muitos sistemas em que a resultante F é proporcional a x. Nesses casos é válida a expressão F = - k.x, sendo k > 0 a constante elástica do oscilador. Em outros sistemas esta expressão só é aproximadamente válida. Consideram-se em tais casos apenas oscilações de pequenas amplitudes.

Como, de acordo com a segunda Lei de Newton, para um objeto de massa m, sujeito à força resultante F, temos:

Obtém-se a seguinte equação do movimento:

Se definirmos 2 = k/m. O símbolo d2x/dt2 representa a segunda derivada de x. Fisicamente, é a aceleração da massa m. A solução desta equação diferencial de 2ª ordem é uma função em seno ou cosseno (optamos pela solução seno):

Nesta solução aparecem duas constantes que dependem das condições iniciais do movimento (são duas porque a equação é de segunda ordem). Uma delas, A, é a amplitude do movimento [maior valor que a x(t) pode assumir]. A outra,  (letra grega delta), representa indiretamente a posição do corpo no instante inicial [x(0) = A.sen].

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O período da oscilação é

A solução da equação do movimento x(t) está representada graficamente na fig. 1.

Contudo, nos sistemas macroscópicos reais, além da força de restituição estão sempre presentes forças resistivas. O oscilador harmônico é, nestas condições, amortecido. Generalizando o resultado anterior, percebemos que a solução da equação do movimento é x1(t) no caso do efeito das forças resistivas ser pouco significativo e x2(t) no caso da força resistiva ser muito intensa impedindo mesmo a oscilação. Estas soluções estão representadas graficamente nas figs. 2 e 3, acima.

Na situação da força resistiva não ser suficientemente forte para eliminar as oscilações, a frequência do movimento w1vem atenuada em relação a wo. Considerou-se irrelevante, nos casos anteriores, a força que levou o oscilador ao movimento. No entanto, podemos considerar um sistema sujeito à aplicação de uma força exterior (além da onipresente força de atrito). Vamos supor que esta força tem uma forma senoidal, sendo do tipo F(t)=Focos(wt) já que qualquer função pode ser escrita como uma soma de funções senoidais (análise de Fourier). Forepresenta a amplitude da força e w a sua pulsação (frequência angular).

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Quando ocorre esta situação, o oscilador acaba sempre por oscilar com a frequência imposta pela força exterior, já que o atrito atenua a oscilação com a frequência própria wo. Contudo, o sistema responde a esta imposição de maneira diferente para cada frequência wo. A curva A em função de w representada acima depende de um fator l (lambda) que se designa por coeficiente de amortecimento. Para w = 0 a amplitude é Ao, que representa a amplitude da oscilação na ausência da força exterior. O gráfico tem o seu máximo para w e wo. Nesta zona de frequências a amplitude das oscilações é especialmente grande e a este fenômeno dá-se o nome de ressonância.

A ressonância tem importância capital nos sistemas que estejam sujeitos a vibrações, de qualquer tipo. Notar que, apesar de termos pensado em x como uma grandeza espacial, qualquer grandeza física pode estar sujeita a oscilações. Por exemplo: o som que ouvimos não é mais do que a pressão do ar a oscilar; a luz é a propagação da oscilação dos campos elétrico e magnético. Também a corrente elétrica tem comportamento semelhante quando no circuito existem capacitâncias ou indutâncias. Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de forma a minimizar a amplitude desses movimentos. Noutros, como no caso do circuito de uma antena, interessa obter grandes amplitudes de oscilação para emitir ou captar ondas de uma certa frequência.

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Vibrações dos edifícios

Com base neste estudo, podem construir-se edifícios antissísmicos limitando assim estragos que possam acontecer. Quando ocorre um sismo, uma construção é sujeita a uma força exterior, com uma determinada frequência (na realidade é uma sobreposição de várias frequências). Se o edifício tiver a sua frequência própria (também são várias) próxima das frequências impostas pelo sismo, as amplitudes tornam-se grandes e podem destruir edifícios. Existem duas formas para evitar a destruição sísmica: aumentar as forças resistivas de forma a diminuir as amplitudes das oscilações na zona de ressonância; evitar que a frequência própria das oscilações da construção seja próxima da das oscilações provocadas pelos sismos.

Existe uma fórmula empírica que fornece uma estimativa do período de oscilação própria de um edifício com H metros de altura e L metros de largura da base, considerando-a quadrada.

A ponte de Tacoma

No estado de Washington, no dia 7 de Novembro de 1940, aproximadamente às 11 horas da manhã, a ponte suspensa sobre o estreito de Tacoma, apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego, foi destruída durante um vendaval. A ponte apresentava um comprimento total de 1530 m, com um vão central de 850 m.

Inicialmente, sob a ação do vento, o vão central pôs-se a vibrar no sentido vertical, passando depois a vibrar torcionalmente, com as torções ocorrendo em sentido oposto nas duas metades do vão. Uma hora depois, o vão central se despedaçava.

Tal acontecimento não foi devido simplesmente à força imposta pelo vento que, na manhã do desastre, soprava com a velocidade de aproximadamente 68 km/h, insuficiente, por si só, para destruir uma ponte solidamente construída. O desastre