LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS

LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS

Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cossenos são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer.

Lei dos Cossenos

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:

Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Lei dos Senos

A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever:

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

APLICAÇÕES DAS LEIS TRIGONOMÉTRICAS: SENO E COSSENO

Não há sentido em aprender diversos conceitos matemáticos sem que exista uma compreensão da aplicação destes conceitos, mesmo que em situações hipotéticas. Por hora veremos a aplicação de duas leis trigonométricas que se aplicam em qualquer situação em que se tenha um triângulo, seja ele qual for.

Os conceitos são os das leis do seno e do cosseno, conceitos que trabalham com apenas dois elementos: ângulo e medida do lado. Veremos uma mesma situação, onde um construtor de pontes deseja calcular o tamanho da ponte que será construída, entretanto, em cada uma das situações as informações serão diferentes. Com isso veremos os casos nos quais é possível a aplicação da Lei do Seno e da Lei do Cosseno.

Situação 1) O construtor deseja calcular a distância do ponto A ao ponto C, pontos onde a ponte será construída, entretanto ele não possui nenhuma ferramenta que meça essa distância, mas ele conhece de matemática e teve a seguinte ideia. “Como eu possuo uma ferramenta que calcula ângulos, conseguirei determinar o comprimento desta ponte”. Com isso ele marcou um ponto B, calculou o ângulo BÂC que foi igual a 85°, caminhou até o ponto B, uma distância de 2km, e calculou o ângulo ABC obtendo um ângulo de 65°. O construtor acredita que com essas informações será possível calcular o comprimento da ponte.

Veja como será realizado esse cálculo:

Note que as únicas informações dadas foram:

Vejamos as expressões das Leis trigonométricas que podem ser aplicadas.

Lei do seno:

Lei do cosseno:

Veja que com os dados que temos não é possível aplicar a lei do cosseno, pois precisamos das medidas de dois lados e temos apenas a medida de um lado e de dois ângulos, portanto,