LIMITES

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.Seja x_1, x_2, \ldots uma sequência de números reais. A expressão:

\lim x_i = L

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto (L - \epsilon, L + \epsilon) \mbox{ com } \epsilon > 0, o desafiado deve exibir um número natural N tal que \forall i\mbox{ com }i > N \Rightarrow x_i \in (L - \epsilon, L + \epsilon).

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim1 :

\forall \epsilon >0,~\exists N\in\mathbb{N};~i\geq N \Rightarrow |x_i - L| < \epsilon.