LIMITES TRIGONOIMETRICOS

LIMITE TRIGONOMÉTRICO

Vamos considerar a função f(x)=senx/x , definida em R – {0} . Não chegaria a constituir problema o cálculo de limite como:

lim┬(x→π⁄2)⁡〖f(x)= lim┬(x→π⁄2)⁡〖senx/x〗 〗=1/(π⁄2)= 2/π

lim┬(x→π)⁡〖f(x)= lim┬(x→π)⁡〖senx/x〗 〗=0/π=0

lim┬(x→π⁄4)⁡〖f(x)= lim┬(x→π⁄4)⁡〖senx/x〗 〗=(√2/2)/(π⁄4)= (2√2)/π

Surge, entretanto, o problema do lim┬(x→0)=senx/x. Atribuindo a x sucessivamente os valores 0, 10; 0,09; 0,08; ...; 0,01 e calculando f(x)= senx/x, construiremos a tabela:

x senx senx/x

x/senx

0,10 0,0998334 0,99833 1,00166

0,09 0,0898785 0,99865 1,00135

0,08 0,0799147 0,99893 1,00106

0,02 0,0199987 0,99993 1,000065

0,01 0,0099998 0,99998 1,00002

Que surge uma tendência de senx/x para o valor 1.

É isso mesmo que ocorre, ou seja:

e

EXEMPLOS:

lim┬(x→0)⁡〖senx/2x〗= lim┬(x→0) 1/2∙senx/x = 1/2∙1=1/2

lim┬(x→0)⁡〖sen2x/x〗= lim┬(x→0) sen2x/x∙2/2 =lim┬(x→0) sen2x/2x∙2=1∙2=2

lim┬(x→0)⁡〖sen2x/3x〗= 〖 lim⁡〖1/3∙〗〗┬(x→0) sen2x/x=〖lim⁡〖1/3∙〗〗┬(x→0) sen2x/2x∙2=1/3∙1∙2=2/3

lim┬(x→0)⁡〖(x∙cossec x)〗= 〖lim⁡x∙〗┬(x→0) 1/senx= = 1

Exercícios:

Dê os valores dos limites:

a) lim┬(x→0)⁡〖sen2x/2x〗 b) lim┬(x→0)⁡〖senx/3x〗

c) lim┬(x→0)⁡〖sen3x/x〗 d) lim┬(x→0)⁡〖sen5x/3x〗

e) lim┬(x→0)⁡〖tgx/x〗 f) lim┬(x→0)⁡〖tg2x/x〗

g) lim┬(x→0) (cos2x-x/tgx) h) lim┬(x→0)⁡〖(sen x/2)/x〗

i) lim┬(x→0)⁡〖x^2/senx〗 j) lim┬(x→0)⁡〖senx/x〗

k) lim┬(x→0)⁡〖sen3x/2x〗

Respostas:

1.a)1 b) 1/3 c) 3 d) 5/3 e) 1

f) 2