Lei gaussiana

Capítulo 9-Lei de Gauss

LEI DE GAUSS

Quando se coloca fubá (ou similar) na superfície de um óleo viscoso onde existem cargas elétricas aparecem linhas . Faraday percebeu que a direção da linha em cada ponto do espaço era a direção da força elétrica que atuaria em uma carga elétrica pontual colocada naquele ponto. Por isso denominou essas linhas de linhas de força. Faraday convenciou que o sentido de uma linha em um ponto qualquer do espaço era o sentido da força elétrica que atuaria em uma carga pontual positiva colocada no ponto . Com essa convenção as linhas de forças saem das cargas elétricas positivas e entram nas cargas elétricas negativas. Faraday considerava que as linhas de forças tinham existência real e que eram elas que exerciam forças sobre as cargas elétricas. As linhas de forças de um dipolo elétrico estão representadas na figura abaixo.

Figura 101- Fontes e sumidouros.

Através da análise das linhas de forças produzidas por diversos sistemas de cargas elétricas Faraday enunciou a primeira versão da lei que denominamos hoje em dia de lei de Gauss.

“Se considerarmos como positivo o número de linhas de forças que saem de uma superfície fechada e de negativo o número de linhas de forças que entram na mesma superfície, o número total de linhas de forças (fluxo de linhas) que atravessam uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica contida no interior desta superfície. “

Figura 102-Lei de Gauss

Na figura acima, o fluxo de linhas de força através de é positivo, o fluxo através de é nulo e o fluxo através de é negativo. A1A2A3

Hoje em dia não se utiliza mais o conceito de linhas de forças para descrever a interação elétrica. A interação elétrica é descrita pelo campo elétrico. Em analogia com a hidrodinâmica define-se o fluxo do campo elétrico da seguinte forma:

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Figura 103- Fluxo do campo elétrico.

ΦEAEndA=•∫v$

FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO

O cálculo do fluxo do campo elétrico de uma carga elétrica pontual requer o conceito de ângulo sólido.

O ângulo sólido com vértice no centro de uma calota esférica de área A e raio r e que contem a calota esférica é por definição Ω=Ar2. O ângulo sólido independe do raio da calota esférica porque a área da calota esférica é proporcional quadrado do seu raio. A unidade de ângulo sólido é o esferoradiano .

Figura 104- Ângulo sólido de uma calota esférica.

ÂNGULO SÓLIDO

Figura 105- ângulo sólido de uma superfície qualquer.

O conceito de ângulo sólido pode ser generalizado para o caso de uma superfície qualquer A . Divide-se a superfície A utilizando-se N superfícies cônicas com o vértice em O. O ângulo

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sólido com vértice em O e que contem a área ΔA é ΔΩΔ=Ar'2$, onde é a área da calota esférica e r o seu raio . A projeção da área ΔA sobre o plano perpendicular ao vetor unitário ΔA'r é ΔΔAAΔrn⊥==•cos()$$ A θ. Quando ΔΩ é pequeno temos que ΔΩΔΔ=≅=•⊥Arrnr$$222ΔAr'A. A definição que generaliza o conceito de ângulo sólido é

ÂNGULO SÓLIDO

ΩΔ=•=•→∞=Σ∫lim$$$$NiiiiiNArnArrndAr212.

A definição anterior pode ser aplicada à uma superfície fechada. O ângulo sólido que contem uma superfície esférica com vértice no seu centro é

Ω=•=•=====∫∫∫∫$$$$rndArrrdArdArdArrresfrdAAAA22222244ππ

Figura 106- Ângulo sólido de uma superfície esférica.

A figura ao lado mostra que o ângulo sólido que contem uma superfície fechada qualquer com o vértice no interior da superfície é 4π esfrd porque Ω=•=•=∫∫$$$$""rndArrndArAA224π.

Figura 107- Ângulo sólido de uma superfície fechada-ponto interno.

O ângulo sólido que contem uma superfície fechada qualquer com o vértice no exterior da superfície é nulo porque a contribuição ao ângulo sólido de duas áreas diametralmente opostas se cancelam. ()11012112222111222221122222rrndArrndArndArrndArrndArrndArdd))))))))•+•=•+•=−•+•==−+=$$$$.ΩΩ

=

Figura 108- ângulo sólido e uma superfície fechada-ponto externo. 110

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O fluxo do campo elétrico criado por uma carga elétrica pontual localizada no interior de uma superfície fechada é ΦΩEoooAoEndAqrrndAqrndArqdEndAq=•=•=•=⇒•=∫∫∫∫∫v))r$$$$.44422πεπεπεε

=

Figura 114-Lei de Gauss para carga pontual interna.

O fluxo criado por uma carga elétrica pontual localizada no exterior de uma superfície fechada é nulo porque ΦΩEoooEndAqrrndAqrndArqd=•=•=•==∫∫∫∫v))$$$.444022πεπεπε

=

Figura 115-Lei de Gauss para carga pontual externa.

Os resultados anteriores podem ser generalizados facilmente para campos elétricos criados por uma distribuição de cargas elétricas qualquer , uma vez que vale o princípio da superposição para campos elétricos. O fluxo do campo elétrico produzido por várias cargas pontuais é dado por: rrEndAEndAqAiernasoiNiNiNA•=•=∫ΣΣΣ∫===$$intε111.

Portanto, só contribuem para o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada as cargas elétricas localizadas no interior da superfície. O enunciado moderno da Lei de Gass afirma que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada A é proporcional às cargas elétricas localizadas no interior da superfície A, isto é, rEndAqieriorresio∫Σ•=$intε

LEI DE GAUSS

É importante ressaltar que a independência do fluxo do campo elétrico com o tamanho da superfície fechada é devida unicamente a dependência do campo elétrico da carga elétrica pontual com o inverso do quadrado da distância. O fluxo de um campo depende em geral do tamanho da superfície.

Uma aplicação interessante da Lei de Gauss é