Limites E Continuidade

SUMÁRIO

PÁGINAS

INTRODUÇÃO................................................................................... 4

1.LIMITES ...........................................................................................5

1.1Limites de Função........................................................................5

1.2 Idéia Intuitiva De Limites ...........................................................6

1.3 Limite de uma função real........................................................7

1.4Limites Infinitivos......................................................................9

1.5 Propriedade Dos Limites ......................................................13

1.6 Um Limite Fundamental .........................................................15

2. CONTINUIDADE.............................................................................16

2.1 Definições de Função Continua..............................................18

2.2 Tipos de Descontinuidade.......................................................18

2.3 Propriedades das Funções Contínuas...................................19

2.4 Teoremas do Valor Intermediário (TVI)..................................20

2.4.1 Consequência Do Teorema Do Valor Intermediário...........21

3. CONCLUSÃO.....................................................................................

4. REFERÊNCIAS...................................................................................

INTRODUÇÃO

Neste trabalho veremos que a idéia de Limites é fundamental no cálculo diferencial, um campo da Matemática que teve início no século XVII e é bastante fértil em resultados e aplicações em várias áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras. Veremos também que a idéia de Continuidade, representa a expressão da isenção de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

1 LIMITES

Limite é um dos assuntos centrais da Matemática em seu ofício de modelar dados para outras disciplinas. Um matemático e professor de Matemática, R. Courant, dizia que "limite é o limiar da Matemática superior" querendo dizer que quando se passava da Matemática elementar para a Matemática superior, necessariamente se havia de passar pela porta, limiar, chamada "limite". O seu primeiro uso na Matemática superior é a construção dos números reais que representam um salto significativo em relação aos outros números, naturais, inteiros e racionais.

1.1 LIMITES DE FUNÇÕES

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais.

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

Estudos de sequencias, séries, cálculos de raízes de funções.

O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns.

Podemos observar que, para obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário, que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.

1.2 IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto.

Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}R definida por:

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço veremos na figura abaixo:

1.3 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto