Limites E Continuidades

FACULDADES SÃO JOSÉ

Leonardo Castro Corrêa

João Gabriel Cruz da Silva

LIMITES E CONTINUIDADE

2014

Rio de Janeiro

NOME DO AUTOR

TÍTULO DO RELATÓRIO

Relatório de pesquisa apresentado para a Programa de Iniciação à Pesquisa das FSJ, sob a orientação do prof. ____________________ e coordenação do prof. José Eduardo Pereira Filho.

Rio de Janeiro

2014

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ......................................................................................... 4

2. DESENVOLVIMENTO ............................................................................. 5

3. CONCLUSÃO .......................................................................................... 19

4. REFERÊNCIAS ........................................................................................ 20

1. INTRODUÇÃO

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Limites

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Continuidades

O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

Ao definir o conceito de continuidade, o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de quebras ou saltos em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela "cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel". Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma interpretação do conceito, e que este é muito mais amplo.

2. DESENVOLVIMENTO

LIMITES

Analise intuitiva de limites e continuidade de funções através de seus gráficos.

Qual o papel dos Limites de funções reais? O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais. Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as ideias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções. Ideia Intuitiva de Limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar ideias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:

f(x)= x²-1 x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples(x) = x + 1Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1 Pela direita de x=1

x 00,50,80,90,990,9991x 21,51,21,11,011,0011

f(x) 11,51,81,91,991,9992f(x) 32,52,22,12,012,0012

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:Limx 1 f(x) = 2Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

Limite de uma função real.Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

• O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:Limx c+ f(x) = Ld

• O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:Limx c_ f(x) = Le

• Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o