Matemática Aplicada - Etapa 2

Passo 1

As funções exponenciais são classificadas como função crescente ou função decrescente característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos importantes na matemática financeira.

Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas.

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Para facilitar o entendimento, vamos ilustrar uma simulação de aplicação de um montante.

Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M1, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M1 = 2.000,00 + . 2.000,00

M1 = 2.000,00 + 0,20 . 2.000,00

M1 = 2.400,00

Colocando 2.000,00 em evidência:

M1 = 2.000,00 . (1+ 0,20)

M1 =2.000,00 . 1,20

M1 = 2.400,00

Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após um ano multiplicado por 1,20:

M2 = M1 . 1,20

M2 = 2.400,00 . 1,20

M2 = 2.880,00

O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

M3 = M2 . 1,20

M3 = 2.880,00 . 1,20

M3 = 3.456,00

Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a sequência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 2.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

Mês (x) 0 1 2 3

Montante (M) 2000 2400 2880 3456

Quando os Juros gerados em cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros no período seguinte, dizemos que o capital cresce segundo o regime de capitalização composta. Nesse caso, se a taxa de variação percentual do capital for constante, os valores do capital seguem uma progressão geométrica, por isso, podem ser modelados por uma função exponencial.

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses, o montante produzido pelo primeiro mês será:

M1 = C. (1+i)

M1 = 2000. (1+0,20)

M1 = 2400

Para obtermos o montante após 2 meses, temos:

M2 = C . (1+i)2

M2 = 2000 . (1+0,20)2

M2 = 2000 . (1,20)2

M2 = 2880

Dessa forma temos:

M3 = 2000 . (1,20)3 = 3456,00

M4 = 2000 . (1,20)4 = 4147,20

M5 = 2000 . (1,20)5 = 4976,64

Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

M(t) = C . (1+i)t

Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Passo 2

Valor do empréstimo: R$ 10.000,00

Proposta Banco A: 2,7 % a.m. – Parcelado em 12 meses

M = 10000 . (1,027)12

M = 10000 . 1,376719

M 13767,19

Proposta Banco B: 2,9 % a.m. – Parcelado em 8 meses

M = 10000 . (1,029)8

M = 10000 . 1,256964

M 12569,64

Proposta Banco C: 3,5 % a.m. – Parcelado em 7 meses

M