Matemática Financeira

Funções do 1º grau

A matemática está ao nosso redor, com a função de permitir a solução de problemas através de métodos simples e da fácil interpretação, as funções do 1º grau, por sua vez podem ser usadas para calcular taxa de variações, orçamentos, entre outros. A fórmula geral de uma função do 1º grau é: y= f(x)= ax+b que aplicada a matemática administrativa fica y= f(x)= mx+b sendo que m é o coeficiente angular u a taxa de variação média. Uma função do 1º grau é chamada dessa forma por que o maior expoente de sua variável é 1.

Resolução do exercício proposto sobre equações do primeiro grau:

Dada a função: C(Q)= 3q+ 60:

1.1 Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.

Resposta: Valores de C(q) quando q={0,5,10,15,20}

C(0) = 3.0 + 60 = 60

C(5) = 3.5 + 60 = 75

C(10) = 3.10 + 60 = 90

C(15) = 3.15 + 60 = 105

C(20) = 3.20 + 60 = 120

1.2)Gráfico da função:

1.3) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q=0?

É m valor fixo, pois não depende da quantia, porque o insumo já começa em 60.

1.4) A função é crescente ou decrescente? Justificar.

Essa função podemos afirmar que é crescente, sendo que o multiplica sua quantidade é um termo positivo.

1.5) A função é limitada superiormente? Justificar.

A quantia não possui limites, então a função não é limitada superiormente.

Funções do 2º grau

As funções do 2º grau são muito importantes para quem se utiliza de cálculos, pois sua principal função está relacionada na análise de gráficos evidenciando o vértice da parábola, que é capaz de tornar possível resultado de valores mínimos e máximos.

Uma função do 2º grau possui a seguinte característica: y= ax2+bx+c ou em termos da matemática administrativa: y= f(x) = ax2+bx+c, tendo que nos utilizarmos da fórmula de Báskara x=(-b±√(b^2-4ac))/2a.

Baseado nas fórmulas obtidas e na leitura do livro, foi realizada atividade relacionadas a funções do 2º grau:

1.) O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t²- 8t+ 210 , onde o consumo E é dado em kWh, e ao tempo associa-se t=0 para janeiro, t=1 para fevereiro, e assim sucessivamente.

a) Determinar o(s) mês(es) em que o consumo foi de 195 kWh.

Os meses de Abril e de Junho tiveram o consumo de 195 kWh.

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.

Foi de 208 17 kWh, no primeiro ano.

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.

d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo? e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês em que o consumo de energia, de acordo com os cálculos, foi de maior consumo foi o mês de Dezembro, atingindo 243 kWh. Em contrapartida o mês onde o consumo foi baixo, corresponde ao mês de Maio, que registrou 194 kWh.

Funções exponenciais

Chama-se função exponencial, pois o x é o próprio expoente. A principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no expoente. Essa função representa variações altas em um curto período. Uma função exponencial tem diversas aplicabilidades no dia a dia, onde nela podemos encontrar cálculos como o de juros compostos. A fórmula básica de uma função exponencial é dada por: y= f(x) = b*ax. Conhecendo os conceitos básicos da função exponencial, segue a resolução de um problema referente ao tema proposto:

1) Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) = 250. (0,6)t, onde Q representa a quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:

a) A quantidade inicial administrada.

2 (t) = 250. (0,6) t

Q (0) = 250.0,60 = Q(0) = 250.1 = 250

No inicio foi administrada a quantia de 250 mg.

b) A taxa de decaimento diária.

M=C (1+ i) t = (1 + i) = 0,6 = i= 0,6-1 = i = 0,4 ou 40%.

Foi concluído que a taxa de decaimento diária é de 40 %.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.

Q(3) = 250. 0,6³ =

Q(3) = 250. 0,216 =

Q(3) = 54 mg.

A quantidade de insumo presente após três dias de aplicação é de 54 mg.

d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.

Se Q= 0, 250. 0,6t = 0 = 0,6t = 0/250 = 0,6t = 0

Para que seja determinado o tempo, aplicamos logaritmo, então: log 0,6 t log 0,e chegamos a conclusão que esse insumo nunca poderá ser eliminado, pois as funções exponenciais nunca se igualam a zero.

Derivadas

O que são derivadas?

Aplicando o conceito de derivadas na matemática financeira, podemos dizer que, derivadas calculam a taxa de variação de um produto, a partir dos conhecimentos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea.

Como se calcula?

A fórmula básica do calculo de uma derivada é: f’(x) limh→0 f(x+h)- f(x)÷h.

Onde se aplica?

Podemos usar derivação para calcular diversas fatos e dilemas, tanto no ramo empresarial, como em tarefas do dia a dia, como determinar se uma expressa está tendo lucro suficiente ou não, qual é a taxa de produção de um empreendimento do maior ao menor porte, entre outros.

Tomemos como exemplo o exercício a seguir, proposto no livro PLT desta disciplina:

“Em uma linha de produção, o número P de aparelhos eletrônicos montados por um grupo de funcionários depende do número de q de horas trabalhadas em P (q) =1.000 q ¾, onde P é a medida em unidades montadas, aproximadamente, por dia:

a_) Estime, numericamente, a derivada da produção para q=. Qual a unidade de medida dessa derivada?

b) Qual é o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?

Como resposta a essa indagação temos:

a) P’(1) = 750 unidades/dia.

b)O valor indica a taxa de quanto varia a produção para uma hora trabalhada. Graficamente, representa a inclinação da reta tangente à curva de produção no ponto (1;P(1)) = (1; 1.000).

(Murolo, Carlos A.; Bonetto, Giácomo.Matemática Aplicada a Administração Economia e Contabilidade, 2º edição, pag.178 e 416, PLT).

Referencias bibliográficas

- MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo A. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. PLT 622.