Matriz

.1. INTRODUÇÃO

Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno, revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear. Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares, mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações lineares.

E1) Construa uma matriz:

a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada

E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1.

E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a .

E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do exercício E1.

E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:

a) m = n = 4 e a = b) m = 2, n = 3 e a =

E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.

E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij] , a =0 se i j) de ordem 3.

E8) Escreva a matriz identidade ( I =[aij] , a = ) para n = 4.

E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij] , a =0 se i>j) de ordem 3.

E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij] , a =0 se i<j) de ordem 4.

E11) Encontre x, y, z e w de forma que A=B, sendo:

a) A = , B =

b) A = , B =

E12) Dadas as matrizes A = , B = e C = determine a matriz:

a) A + 2B + (-A) + (-B)

b) A – B +

c) 3( C – 2I )

1.2. PROPRIEDADES

1. Propriedades da Adição

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)

c) A + O = A

d) A + (-A) = O

sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem

2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real

a) ()A = (A)

b(A + B) = A + B

c) ( + )A = A + A

d) 1A = A

sendo A e B matrizes de mesma ordem e ,

E13) Sejam as matrizes A = , B = e C = , determine:

a) AB b) AC c) CA d) (A-I ) (B+I )

3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes

a) ABC = (AB)C = A(BC)

b) A(B+C) = AB + AC

c) (A+B)C = AC + BC

d(AB) = (A)B = A(B) , 

e) AO = O

f) AI = IA = A

E14) Use V ou F :

a) Se existem AB e BA então AB = BA ( )

b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )

E15) Encontre a matriz transposta de:

a) A = b) B =

4. Propriedades da Transposta

a) (A ) = A

b) (A + B) = A + B

c) (AB) = B A

d) (A) = A , 

E16) Sejam as matrizes A = , B = e C = , determine:

a) ( A - B) (B - C) b) [(2A - I ) + (C + I )] c) (AB C)

E17) Construa uma matriz simétrica (A = A) de ordem 3.

E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A = -A) de ordem 4.