Matriz Rotaco

Matriz Rotação

Uma matriz de rotação é uma transformação linear que quando multiplicada por um qualquer vector provoca uma rotação desse vector segundo um eixo mantendo a sua norma(comprimento).

Propriadades

\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{N\times N} é uma matriz rotação se e só se \mathcal{M} for ortonormal\mathcal{M} é ortonormal se o produto escalar entre dois vectores coluna for zero e o produto escalar com ele próprio der um vector unitário. (norma = 1)

A matriz rotação é anti-simétrica,logo a inversa da matriz rotação é igual á sua transposta e estas permitem a rotação de um vector no sentido horário:

\,\mathcal{M}^{-1}=\mathcal{M}^\top

O determinante da matriz rotação é igual a 1:

\,det\mathcal{M}=1

Rotação \mathbb{R}^{2}

A imagem 1 representa a rotação do vector u, segundo o angulo β, dando origem ao vector v.

Imagem 1

Imagem 1

As cordenadas do vector u podem ser dadas por:

u_{1}= l \cos \alpha\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{2}= l \sin \alpha

As cordenadas do vector w (o vector que resulta da rotação do vector u) podem ser dadas por:

w_{1}= l\cos \left ( \alpha +\beta \right )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= l\sin \left ( \alpha +\beta \right )

desenvolvendo \cos \left ( \alpha +\beta \right )

w_{1}={\color{blue} l}\cos \beta {\color{blue} \cos \alpha }-{\color{green} l}\sin \beta {\color{green} \sin \alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= {\color{blue} l}\,\,\sin \beta \,\, {\color{blue} \cos \alpha }+{\color{green} l}\,\,\cos \beta \,\,{\color{green} \sin\alpha}

como {\color{blue} u_{1}=l\cos \alpha }\,\,\,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{green}u_{2}= l\sin \alpha }

w_{1}= u_{1}\cos \beta -u_{2 }\sin\beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,w_{2}= u_{1}\sin \beta +u_{2}\cos \beta

Se considerarmos um vector generico v = \left ( x,y \right ) e o pretendermos rodar no sentido anti-horario, chamando ao resultado da sua rotação o vector v'=\left ( x',y' \right )

Podemos obter a sua rotação atravez das seguintes equações lineares