Metodos Diretos E Iterativos

Antes de iniciar a solução de SELAS através dos métodos diretos e iterativos, vamos explicar o que é sistema de equação linear e seu uso na matemática e outras matérias, assim como em problemas do nosso cotidiano.

Equação Linear é toda equação que possuem variáveis e apresenta a seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, em que a1, a2, a3, an são coeficientes reais e o termo independente e representado pelo numero real b.

Exemplos:

{X+y+z = b┤ {2x-3y+5z = 6┤ {x-4y-z = 0┤

{X+y+z = 20┤ {4x+5y-10z = -3┤ {x+10y-12z = 120┤

Sistema de equações lineares (SELAS) define-se: qualquer reta no plano xy pode descrever-se algebricamente através de uma equação da forma: a1x1+...+anxn = b,

onde a1, a2, ..., an não são simultaneamente nulos. As variáveis x1,x2, ..., xn, também se designam por incógnitas. Quando n = 2 e n = 3 é costume usar variáveis x, y em vez de x1, x2 e x, y, z em vez de xy, xy, xz.

Exemplos:

{X+3y = 7┤, {y = ½x+√3z+1┤=7, {x1-2x2-3x3+x4 = 7┤

São equações lineares, enquanto as equações abaixo não são.

{X+3√y = 5┤, {3x+2y-z+xz = 4┤, {y = sinx┤

Classificação: todo sistema linear é classificado de acordo com o numero de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associado um sistema linear a uma matriz.

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente.

Exemplos:

Sistema {█(x+y=3@x-y=1)┤ pode ser representado pela matriz:|■(1&1 3@1&-1 1)|

Sistema {█(x+10y-12z=120@4x-2y-20z=60@-x+y+5z=10)┤ logo, é dada pela matriz:■(‌1&10&-12 120@4&-2&-20 60@-1&1& 5 10)

O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:

{█(x+10y-12z=120@4x-2y-20z=60@-x+y+5z=10)┤

Equação matricial do sistema:

■(1&10&-12@4&-2&-20 @-1&1&5) * ■(x@y@z) = ■(120@60@10)

Aplicações de SELAS

A resolução de sistemas de equações lineares é útil para a solução de diversos problemas. Ex.: Circuitos elétricos, técnicas de interpolação polinomial, complexidade computacional de algoritmos recorrentes, e nas áreas de economia, Geodésia, sensoriamento remoto, Cadeias de Markov, Redes de distribuição de agua, resistência dos materiais, estática dos sólidos e muitos outros. Na engenharia sempre trabalha com dados de projeto que em um determinado problema podem ser incógnitas (ou seja, não conhecidos). Quando você possui mais de uma incógnita, vai cai num sistema linear.

Um exemplo:

Você tem que abastecer duas cidades A e B. Sua adutora capita uma vazão de 100 m³/s de água. Sabe-se que a população A possui três vezes mais habitantes que a população B. Defina a vazão destinada à cidade A, sabendo-se que o consumo por habitante é de 130 l/dia em ambas as cidades. Qual a vazão para a cidade B?

Resolução:

Qa + Qb = 100

Qa = 3Qb

Qa = 75m³/s Qb = 25m³/s

Métodos Diretos

São aqueles que exceto por erro de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um numero finito de operações.

Método de Eliminação de Gauss

Método de Eliminação de Gauss ou algoritmo de Gauss é o método mais conhecido e mais usado para resolução de SELAS de porte pequeno a médio, ou seja, de ordem de 30 a 50. É descrito: A □(→┬(x ) ) =b ⃗, onde A ∈ R e □(→┬x ), □(→┬b ) ∈ R.

A solução é obtida:

Etapa 1: Triangularização, transformar a matriz A numa matriz triangular superior;

Etapa 2: Retrossubstituição, consiste calcular os componentes do vetor □(→┬(x ) ), solução de A □(→┬(x ) ) = b ⃗, a partir da solução imediata do ultimo componente de □(→┬(x ) ).

Combinações lineares:

Adição de uma linha com um múltiplo de outra linha, para substituir uma das linhas consideradas;

Resolvendo uma SELA, manualmente, pode-se necessitar fazer apenas a multiplicação de uma linha por uma constante;

Troca de linhas.

Estratégias de Pivotamento

O pivô sendo nulo, ou seja, é impossível; e o pivô próximo de zero pode conduzir a resultados totalmente imprecisos, para contornar estes problemas adota-se estratégia de pivotamento, ou seja, adota-se processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

Algoritmo de Gauss com pivotamento

Troca às linhas sistematicamente, de modo a minimizar os erros de arredondamento. Escolheremos os pivôs da seguinte maneira:

1º Pivô é o elemento de maior valor absoluto na coluna 1.

2º Pivô é o elemento de maior valor absoluto na coluna 2 da matriz-resto.

Isso é tido como Pivotamento Parcial, pois a escolha do pivô é feita em determinada coluna escolhendo-se o seu maior valor, se necessário, há troca de linhas convenientes. O Pivotamento Total é tido quando a pesquisa de qual é o maior elemento, é mais demorada, e é preciso termos novo valor para guardar eventual troca de coluna quando troca da coluna além da troca de linhas, a exatidão que este método proporciona pode não ser vantajoso devido alta complexidade.

Métodos Iterativos

São aqueles cuja solução do problema é obtida a partir