Movimento Forçado Com Amortecimento

Movimento forçado - Com amortecimento

Consideraremos uma força externa f(t) agindo em um sistema vibratório massa-mola. Por exemplo, f(t) poderia ser uma força causando movimento oscilatório vertical no suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton nos dá a equação diferencial do movimento forçado.

(FIGURA)

Em que F(t) = f(t)/m e, como na seção precedente, 2λ = β/m, ω²= k/m. Para resolver essa equação não-homogênea, podemos usar o método dos coeficientes indeterminados ou a variação de parâmetros.

Exemplo 1

Interprete e resolva o problema de valor inicial.

Solução

O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa (m=1/5kg) atada a uma mola (k= 2N/m). A massa parte do repouso ½ metro abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido (β=1,2) e está sob a ação de uma força externa periódica (T= π/2 segundos). Intuitivamente, esperamos que, mesmo com amortecimento, o sistema permaneça em movimento enquanto a força externa estiver atuando.

Primeiramente, multiplicamos (4) por 5 e resolvemos a equação homogênea

Pelos métodos usuais. Como m1=-3+i, m2=-3-i, segue-se que:

Usando o método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular da forma

Agora,

Então

O sistema de equações resultantes

-6A+24B=25

-24A-6B=0

Implica e . Segue-se então que

Fazendo t=0, na equação acima obtemos c1= 38/51. Derivando a expressão t=0, encontramos c2= -86/51. Portanto, a equação do movimento é

Termos Transitórios (transientes) e Estacionários

Note que a função complementar

no exemplo 1 possui a propriedade

Como xc(t) se torna desprezível (ou seja,  0) quanto t ∞, dizemos que ele é um termo transitório (transiente) ou uma solução transitória (transiente). Logo, após um longo período de tempo, os deslocamentos do peso no problema precedente são descritos aproximadamente pela solução particular xp(t). Esta última função é também chamada de solução estacionária, ou solução do estado estacionário. Quando F é uma função periódica, tal como ou , a solução geral para (3) consiste em:

Exemplo 2

A solução para o problema de valor inicial