O Cálculo Dierencial II

FUNÇÃO VETORIAL DE DUAS VARIÁVEIS:  SUPERFÍCIES

Definição:    Uma   superfície no espaço   é  um conjunto   S    de  ternos  ordenados  de  reais  ( f(u, v), g(u, v), h(u, v) ),   em que   f ,   g   e   h    são funções reais de  duas variáveis contínuas em uma região D  do plano.[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Assim, as equações paramétricas

constituem uma parametrização para a superfície  S.

        À partir do conceito de função vetorial,

[pic 5]

também podemos dar uma parametrização para a superfície  S . Ou seja,

[pic 6]

Lembramos que a imagem do par (u0, v0)  pela função  r  é o vetor   r(u0, v0)  = [pic 7], sendo O a origem do sistema  e  P0 um ponto da superfície S.  Desta   forma,   temos  P  =  P(u0, v0)  =  ( f(u0, v0), g(u0, v0), h(u0, v0))   com     (u0, v0)[pic 8]D.  Chamamos o vetor  r(u0, v0)  = [pic 9]  de vetor posição de P0.

[pic 10]

        Se no plano-uv considerarmos todos os pontos em que u é a constante u0 obtemos a reta (u = u0) paralela ao eixo OV, cuja intersecção com a região D pode ser um segmento de reta e que pela função vetorial r é levado em uma curva C1 sobre a superfície  S  no espaço(depende apenas da variável  v).  A curva C1  chamamos de curva de u constante ou curva u-coordenada e  é parametrizada pela função vetorial.

r(u0, v) =  f(u0, v) i, +  g(u0, v) j +  h(u0, v) k ,  com  (u0, v)[pic 11]D.

 Analogamente, fazendo v = v0, pela função vetorial  r  obtemos uma curva  C2 ( só depende de u)  sobre a superfície S.   C2  chamamos de curva de v constante  ou curva v-coordenada e  é parametrizada pela função vetorial

r(u, v0) =  f(u, v0) i, +  g(u, v0) j +  h(u, v0) k ,  com  (u, v0)[pic 12]D.

        Já vimos que se uma curva é parametrizada por uma função vetorial r, então a derivada de r em um ponto é um vetor (vetor velocidade) tangente a curva nesse ponto.  Assim, as derivadas parciais de  r  no ponto P0(u0, v0),

ru(u0, v0),=  fu(u0, v0) i, +  gu(u0, v0) j +  hu(u0, v0) k 

rv(u0, v0) =  fv (u0, v0) i, +  gv(u0, v0) j +  hv(u0, v0) k

são  vetores tangentes as curvas  C1  e  C2, respectivamente, no ponto P0 de  S.

Portanto, esses vetores são tangentes à  superfície S no ponto P0   e possuem representantes no plano tangente à   S   em  P0 . Desta forma, se ru(u0, v0) [pic 13] 0   e   rv(u0, v0) [pic 14] 0  o produto vetorial desses vetores, é um vetor, V(u0, v0), não nulo  e simultaneamente  ortogonal a eles. Conseqüentemente, V(u0, v0) é ortogonal ao plano tangente à S  e a própria superfície  S, no ponto P0.