O Conceito de Derivativo

O Conceito de Derivada

O conceito de derivada esta intimamente relacionado a taxa de variação instantânea de uma função, o qual esta presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimentos, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

Definição: se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo Xo, então a derivada de f em Xo, denotada por f ’(Xo), é dada por:

Se este limite existir. ∆x representa uma pequena variação em X , próximo de Xo, ou seja, tomando x= xo +∆x (∆x=x-xo), a derivada de f em xo pode também se expressar por:

Notações:

Aplicação da Derivada

A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos.

Regra de Cadeia

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Operação das derivadas básicas

A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes.

Diferenciais

A diferencial dx ao ser operada pela antidiferenciação, resulta

Com C constante.

Comprovação:

De fato se:

Constantes

A constante c é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:

Comprovação:

Se fizermos: , teremos:

Adição

Se Então:

Comprovação