Regras de derivativos conceitos e derivações

ETAPA 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.

Passo 1.1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com[pic]

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Resposta Passo 1.1:

A velocidade instantânea é portanto definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Na Física temos:

x = x0 + v0 t + at2/2

Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a zero, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido (limite tendendo a zero). No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Devemos adotar a seguinte fórmula:

[pic]

Derivando obtemos:

[pic]

Com a derivação da fórmula acima podemos calcular a velocidade de um objeto a partir do gráfico Espaço(s) x Tempo(t), fornecendo assim, a inclinação da reta tangente ao ponto na curva correspondente, sendo essa a velocidade instantânea.

S = s0 + v0t + a.t2/2, onde s0=2, v0=6 e a = 13 (somatória dos RA’s), obtemos o seguinte cálculo:

S= 2 + 6t + 13t2

Derivando para velocidade,

v = s’(t) = 26t + 6

Passo 1.2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Resposta Passo 1.2:

| |S=2+6t+13t2 | |V=s’(t)=26t+6 | |

|Int. em segundos (s) |Espaço | |Velocidade |m/s |

|0,5 |8,25 |M |19 |m/s |

|1 |21 |M |32 |m/s |

|2 |66 |M |58 |m/s |

|3 |137 |M |84 |m/s |

|4 |234 |M |110 |m/s |

|5 |357 |M |136 |m/s |

Passo 1.3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Bibliografia complementar

• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

Resposta Passo 1.3:

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo, derivando obtemos:

[pic]

Derivando para aceleração,

a = s’’(t) = 26

ETAPA 2

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em situações relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos naturais. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 2.1

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inúmeros sites na internet que traz informações ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia. Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando