O Cálculo Dierencial II
Por: Karoline Araújo • 29/8/2019 • Trabalho acadêmico • 888 Palavras (4 Páginas) • 117 Visualizações
FUNÇÃO VETORIAL DE DUAS VARIÁVEIS: SUPERFÍCIES
Definição: Uma superfície no espaço é um conjunto S de ternos ordenados de reais ( f(u, v), g(u, v), h(u, v) ), em que f , g e h são funções reais de duas variáveis contínuas em uma região D do plano.[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
Assim, as equações paramétricas
constituem uma parametrização para a superfície S.
À partir do conceito de função vetorial,
[pic 5]
também podemos dar uma parametrização para a superfície S . Ou seja,
[pic 6]
Lembramos que a imagem do par (u0, v0) pela função r é o vetor r(u0, v0) = [pic 7], sendo O a origem do sistema e P0 um ponto da superfície S. Desta forma, temos P = P(u0, v0) = ( f(u0, v0), g(u0, v0), h(u0, v0)) com (u0, v0)[pic 8]D. Chamamos o vetor r(u0, v0) = [pic 9] de vetor posição de P0.
[pic 10]
Se no plano-uv considerarmos todos os pontos em que u é a constante u0 obtemos a reta (u = u0) paralela ao eixo OV, cuja intersecção com a região D pode ser um segmento de reta e que pela função vetorial r é levado em uma curva C1 sobre a superfície S no espaço(depende apenas da variável v). A curva C1 chamamos de curva de u constante ou curva u-coordenada e é parametrizada pela função vetorial.
r(u0, v) = f(u0, v) i, + g(u0, v) j + h(u0, v) k , com (u0, v)[pic 11]D.
Analogamente, fazendo v = v0, pela função vetorial r obtemos uma curva C2 ( só depende de u) sobre a superfície S. C2 chamamos de curva de v constante ou curva v-coordenada e é parametrizada pela função vetorial
r(u, v0) = f(u, v0) i, + g(u, v0) j + h(u, v0) k , com (u, v0)[pic 12]D.
Já vimos que se uma curva é parametrizada por uma função vetorial r, então a derivada de r em um ponto é um vetor (vetor velocidade) tangente a curva nesse ponto. Assim, as derivadas parciais de r no ponto P0(u0, v0),
ru(u0, v0),= fu(u0, v0) i, + gu(u0, v0) j + hu(u0, v0) k
rv(u0, v0) = fv (u0, v0) i, + gv(u0, v0) j + hv(u0, v0) k
são vetores tangentes as curvas C1 e C2, respectivamente, no ponto P0 de S.
Portanto, esses vetores são tangentes à superfície S no ponto P0 e possuem representantes no plano tangente à S em P0 . Desta forma, se ru(u0, v0) [pic 13] 0 e rv(u0, v0) [pic 14] 0 o produto vetorial desses vetores, é um vetor, V(u0, v0), não nulo e simultaneamente ortogonal a eles. Conseqüentemente, V(u0, v0) é ortogonal ao plano tangente à S e a própria superfície S, no ponto P0.
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