O Método de Hardy Cross

1. Método de Hardy Cross

O método de Hardy Cross é o mais antigo e mais divulgado para a aproximação de cálculos de redes malhadas. Diferentemente do método de seccionamento fictício, esse método serve para cidades que necessitam de uma grande rede de distribuição de água. Segundo Justino e Nogueira (2013), um dos fatores que contribuem para que esse método seja mais utilizado em detrimento de outros é o fato de existir, para ele, um significado físico, facilitando a análise dos resultados obtidos.

Antes do avanço da tecnologia, foi praticamente o único método utilizado. No entanto, com o potencial cada vez mais aprimorado dos computadores, por um lado, e com a maior complexidade dos sistemas; esse método tem-se revelado de vagarosa convergência e até com enormes riscos de divergência. Embora tenha havido melhorias significativas que vários investigadores têm introduzido no sentido de ultrapassar aqueles problemas. A tendência natural tem sido a do seu abandono em favor dos métodos mais tecnologicamente mais avançados.

O método de Hardy Cross pode ser utilizado para o estabelecimento das condições de equilíbrio hidráulico, especificamente através de três tipos de equação anterior (equações dos troços, dos nós e das malhas). No entanto, a forma mais usual da sua implantação é quando o problema do equilibro hidráulico é equacionado através das equações das malhas; porque, deste modo, a um menor número global de equações.

1. Fundamentos do método

Classificamos esse método como interativo, pois consiste numa rede de conjuntos de circuitos fechados, com ramos comuns, com vazões assumidas para todas as tubulações. Ele obedece aos seguintes parâmetros:

1. A soma algébrica das vazões em cada nó da rede é igual a zero.

No nó da figura 6, a seguir:

∑Q = +Q1 + Q2 – Q3 – Q4 – Qd = 0

[pic 1]

Figura 6. Convenção utilizada para equação fundamental. Somatório de vazões nulo.

Fonte: Melo (2006).

1. A soma algébrica das perdas de carga (partindo e chegando ao mesmo nó) em qualquer circuito fechado dentro do sistema é igual a zero.

∑∆H = ∆H1 + ∆H2 - ∆H4 - ∆H3 = 0

[pic 2] 

Figura 7. Convenção utilizada para equação fundamental. Somatório de perdas de carga nulo.

Fonte: Melo (2006).

No calculo da perda de carga em cada trecho da rede, utiliza-se a equação de resistencia na forma ∆H = K.Qn

Segundo Porto (2006) uma rede malhada com m anéis ou malhas e n nós gera um total de  m (n-1) equações independentes, e à medida que a complexidade da rede aumenta, cresce proporcionalmente o número de equações. Evidentemente, uma solução algébrica da rede se torna impraticavel e então lança-se mão de um método de aproximações sucessivas, com o auxilio do computador.

O método de Hardy-Cross é aplicado aos condutos principais de uma rede malhada, a partir de alguns pressupostos do projeto e traçado da rede.

1. Uma vez lançados os anéis da rede, baseado em critérios urbanísticos de distribuição e demanda, densidade populacional, vetores de crescimento da área, etc., são definidos pontos ficticios convenientes localizados nas tubulações. Tais pontos, para efeitos de cálculo, substituem do ponto de vista de demanda, uma certa fração da área a ser abastecida, de modo a tranformar vazões de área em vazões pontuais. Imagina-se que toda a rede seja suprida através dos anéis, em pontos ficticios de descarregamento, que serão os nós da rede, para efeito de aplicação do método.
2. Conhecendo-se a topografia da área, a distância entre dois nós será o comprimento do trecho a ser dimensionado ou, se o diametro já for especificado, o trecho a ser determinada a vazão e as pressões nas extremidades.
3. Admite-se que a distribuição em marcha que ocorre nos trechos que formam os anéis seja substituida por uma vazão constante.
4. Supõem-se conhecidos os pontos de entrada e saída de água (reservatórios, adutoras e os nós atribuídos aos anéis) e os valores das respectivas vazões.
5. Atribui-se partindo dos pontos de alimentação, uma distribuição de vazão hipotética Qa, pelo trecho dos anéis, obedecendo em cada nó à equação de continuidade ∑Qi = 0.
6. Para cada trecho de cada anel, conhecendo o diâmetro, o comprimento e o fator de atrito, calcula-se o somatório de perda de cargas em todos os anéis. Se para todos os anéistivermos ∑∆H = 0, a distrbuição de vazões estabelecida está correta e a rede é dita equilibrada.
7. Se, em pelo menos um dos anéis, ∑∆H ≠ 0, que é uma situação mais comum, a distribuição de vazão admitida será corrigida, somando-se (compensando-se) algebricamente a cada uma delas um valor de ∆Q, de modo que as novas vazões de cada trecho serão:

Q = Qa + ∆Q

De modo a se atingir:

∑∆H = ∑KQn = ∑K(Qa + ∆Q)n = ∑K [1+ n ]n = 0[pic 3][pic 4]

Resolvendo o binômio de Newton e supondo-se que ∆Q é muito pequeno comparado a Qa, isto é, os  valores de vazão são próximos dos valores reais, após essas considerações temos:

∑K = -n ∑K∆Q[pic 5][pic 6]

E finalmente:

∆Q = -  = - [pic 7][pic 8]

Com as novas vazões obtidas em cada anel, recalculam-se as perdas de carga e prosegue-se com o método até que se obtenham, em todos os anéis, valores de ∆Q pequenos ou nulos.

Tanto o problema de verificação, quanto principalmente, o problema de dimensionamento, por se utilizar de um método de aproximações sucessivas, são extremamente laboriosos, exigindo um programa computacional, para agilizar a análise de alternativas.

 [pic 9]

Figura 8 - Exemplo de Hardy cross.

Fonte: Disponível em: .

1. Materiais e Métodos

Para que se possa realizar o  estudo do projeto com os dois métodos de dimensionamento de abastecimento de água, visando mostrar a eficiência e o método que retorna o resultado menos honeroso, são necessárias algumas informações que estarão descritas abaixo.

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