O Teorema De Green

O Teorema de Green

É o objetivo da lista 06. É um dos teoremas mais bonitos da história recente da Matemática, não vou refazer aqui a história que você pode encontrar em diversas páginas na Internet e @ aconselho a fazer esta busca, mas tente não se perder na riqueza de detalhes que você irá encontrar.

É possível que que alguém discorde de mim (coisa fácil), mas eu costumo dizer que Henri Cartan, que morreu há dois anos com 104 anos de idade, dedicou a sua vida a esclarecer o Teorema de Greeen e mais dois outros teoremas que representam o mesmo que este teorema com ligeiras diferenças na sua apresentação, o Teorema de Stokes e o Teorema da Divergência de Gauss.

Eles são uma formulação sofisticada do Teorema Fundamental do Cálculo Integral no sentido de que relacionam duas integrais, uma em dimensão n e a outra em dimensão n-1, analise esta fórmula que se encontra ao final da lista 06.

1. O Teorema Fundamental do Cálculo "reduz" o cálculo da uma integral à variação da primitiva ao longo do intervalo o que é feito calculando os valores da primitiva na fronteira do intervalo que é um domínio de dimensão zero (dois pontos) ao passo que a integral da função é sua variação ao longo de um domínio de dimensão 1, um intervalo. Transforma assim uma integral sobre um domínio de dimensão 1 numa outra integral sobre um domínio de dimensão zero.

2. O teorema de Green faz o mesmo, avalia a integral de uma função sobre um domínio do plano (dimensão 2) usando uma integral de linha (integral sobre um domínio de dimensão 1).

3. É o mesmo que fazem os dois outrso teoremas, de Stokes e da divergência (de Gauss), apenas eles estão formulados sobre variedades que se encontram em espaços de dimensão maior.

Eles são comumente apresentados em espaços de dimensão 3.

Você pode ver exatamente o que eu disse acima nesta página, ela inclusive começa com o Teorema Fundamental do Cálculo apresentado de maneira semelhante a que eu descrevi acima. Para deixar isto claro, que estes quatro teoremas representam praticamente a mesma coisa, Cartan (e muitos outros que colaboraram com ele) construiu uma teoria, a teoria da formas diferenciáveis.

P(x,y) dx + Q(x,y) dy

é uma forma diferenciável, 1-forma diferenciável que é a derivada de z = F(x,y) - notação da lista 06.

Como P(x,y) dx + Q(x,y) dy

é a derivada de

z = F(x,y),

se P = Fx; Q = Fy e você pode concluir que é assim apenas calculando a derivada implícita de z = F(x,y), então a integral desta forma diferencial exata (uma derivada, outro nome para a derivada) é zero como consequência direta do Teorema Fundamental do Cálculo:

F(p) - F(q); p = q;

os dois extremos iguais de uma curva fechada....

O Teorema de Schwartz-Clairaut garante que a integral dupla seja nula, porque como as derivadas mistas são iguais, então

Qx = Fyx = Fxy = Py

e assim o integrando na integral dupla

Qx - Py

é