Teorema De Ceva

TEOREMA DE CEVA

Passemos agora ao teorema de Ceva. Este será obtido pela troca de reta por ponto e vice-versa e pontos colineares por retas concorrentes. Ele foi publicado em 1678 pelo italiano Giovanni Ceva (1647-1736) num artigo onde ele apresentou seu teorema juntamente com o já na época esquecido teorema de Menelau. Estes dois teoremas são as bases da geometria euclidiana moderna. O teorema de Ceva se anuncia:

Teorema de Ceva: Num triângulo ABC sejam dados três pontos

D*(B, C), E* (C,A) e F*(A,B)

Então

(C,F), (B,E) e (A,D) são concorrentes num ponto P

se e só se r(E).r(F).r(D) = 1.

Demonstração: De fato, como no teorema de Menelau vamos dividir a demonstração em três casos. Primeiro caso: Dois pontos, estão na reta do infinito, digamos E = * (A, C) e F = *(A, B) Assim (C, F)||(A, B) e (B,E)||(A, C), i.e., a figura ABCG é um paralelogramo onde G = (C, F)(B, E), então nosso teorema enuncia-se: G(A,D) se e somente se G é o ponto médio de BC (e de AG ), e isto é equivalente ao fato das diagonais de um paralelogramo se cortarem ao meio.

Segundo caso: somente um dos pontos E, F, ou D está em *. Suponhamos que F**, i.e., r(F) = -1 e seja * = *(C, F)|| AB. Seja P = **(E, B). Nosso teorema fica então: P(A,D) se e somente se r(D).r(E) = -1. Mostremos que a condição é necessária. De fato os triângulos CDP e ADB são semelhantes pois ambos tem ângulo em comum e *CPA = *PAB já que *(A, P) é transversal as paralelas *(C, P)|| *(A, B). Assim teremos

/ = / = / também`

os triângulos ECP e EAB são semelhantes ou seja

/ = / = / , / = / , i.e.

/ . / = 1 ou |r(D).r(E)| = 1.

Como DCB e E*CA temos que r(D) > 0 e r(E) < 0. Logo r(D).r(E) = -1. Para a recíproca basta aplicar o mesmo raciocínio da recíproca do teorema de Menelau aos pontos D e D' =  (A,P)   (C,B).

Terceiro caso: D, E e F não estão em * De fato, teremos dois casos: ou o ponto P é interior ao triângulo ou P é exterior. Vamos tratar o caso onde P é interior, o outro caso deixaremos como exercício. (No primeiro caso as três razões serão positivas e no segundo precisamente duas são negativas. Mostremos primeiramente que a condição é necessária. Por A tracemos uma reta  paralela a BC. Seja M = (C, F) e N = (E, B) (aqui (E, B) e (C, F) são transversais as retas paralelas  e (B, C)). Analisando a figura temos os seguintes quatro pares de triângulos semelhantes:

FAM*FBC, EBC*EAN, PAM*PCD, PAN*FBC .

Como todos os pontos D, E, F são interiores aos lados, teremos

r(E) = / , r(F) = / e r(D) = / .

Vamos mostrar que

/ = / , / = / e / = /

daí seguir- se- a que

r(E).r(F).r(D) = / . / . / = 1.

De (I) teremos

/ = / = / / = / .

De (II) teremos

/ = / = / ou / = / .

Agora (III) e (IV) nos fornece

/ = / = / e / = / = / .

Logo

/ = / = / , i.e.,

/ = / .

Isto completa neste caso, a nossa demonstração.

A recíproca é análoga à do teorema de Menelau. Suponhamos que

r(E).r(F).r(D)=1 , e sejam P= (A, D) (B, E), F'= (A, B) (C, P).

Pela condição necessária aplicada a (A, D), (B ,E) e (C, F') teremos

1 = r(E).r(F').r(D) = r(E).r(F).r(D).

Logo r(F) = r(F') ou seja F = F'.

c.q.d.

As retas (A, D), (B, E) e (C, F) chamam-se cevianas de ABC

Observação: O teorema de Ceva admite uma forma trigonométrica: A condição r(E).r(F).r(D) = 1 é equivalente

(*) sen (BAD) / sen (DAC) . sen(CBE) / sen(EBA) . sen(ACF) / sen(FCB) = - 1.

Observe-se também que para simplificar nossa notação, convencionamos que todos os senos são senos de ângulos orientados. A fórmula (*) segue-se do fato que se P for interno ao triângulo ABC, então

/ = .sen(BAD) / ( . sen(DAC)) ,

/ = .sen(CBE)/( . sen(EBA)),

/ = .sen(ACF)/( . sen(FCB))

Porque

/ =2.Area(BDA) / Área(CDA) = .sen(BAD) / ( .sen(CAD)) .

As outras fórmulas se deduzem de modo análogo. Agora o produto das três razões é equivalente ao produto dos quocientes dos senos. Daí segue-se o resultado.

c.q.d

No caso geral, P fora do triângulo, é só fazer o ajuste necessário.

APLICAÇÕES

Antes de terminarmos este artigo vamos dar algumas aplicações imediatas do teorema de Ceva; outras aplicações serão apresentadas num próximo artigo.

Exemplo 1: Num triângulo ABC as medianas se encontram num ponto chamado baricentro de ABC. Aqui os pontos escolhidos sobre os lados do triângulo são

pontos