O conceito de logaritmo

Introdu¸c˜ao

No s´eculo XVII Joost B¨urgi, um relojoeiro sui¸co, foi um dos primeiros a descobrir o logaritmo

como ferramenta de fazer contas. Mas ele n˜ao publicou sua descoberta at´e 1620. O

m´etodo de logaritmos foi proclamado publicamente em 1614, em um livro intitulado Mirifici

Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por John Napier, Bar˜ao de Merchiston na

Esc´ocia. Este m´etodo contribuiu para o avan¸co das ciˆencias, e em especial da astronomia,

fazendo com que contas dif´ıceis se tornassem poss´ıveis. Antes do advento das calculadoras

e computadores, o m´etodo era muito usado em pesquisas, navega¸c˜ao, e outros campos da

matem´atica pr´atica. Al´em de seu importante uso em contas, os logaritmos tamb´em tem

um importante espa¸co na matem´atica te´orica superior.

No in´ıcio, Napier chamou os logaritmos de “n´umeros artificiais” e os antilogaritmos de

“n´umeros naturais”. Depois, Napier formou a palavra logaritmo juntando as palavras

¸¾°¾& (logos) e ®½¶µμ¾& (aritmos). A palavra logos significa propor¸c˜ao e aritmos ´e

n´umero, ent˜ao logaritmo significa um n´umero que indica propor¸c˜ao (ou raz˜ao). Napier

fez esta escolha porque a diferen¸ca entre dois logaritmos determina a raz˜ao dos n´umeros

calculados. O termo antilogaritmos foi introduzido no final do s´eculo XVII e, embora

nunca foi usado extensivamente em matem´atica, persistiu nas t´abuas de logaritmos at´e

que estas cairam em desuso.

Muitos fenˆomenos naturais s˜ao bem descritos por uma modelagem exponencial ou logar

´ıtmica, como o esfriamento de bolos, o decaimento radioativo, crescimento populacional,

etc. Al´em disso o logaritmo pode ser usado em medidas como o decibel, que mede a

intensidade do som (barulho), a escala Richter, que mede as ondas s´ısmicas (terremotos)

e o pH, que mede a acidez, neutralidade ou alcalinidade de um meio qualquer. Podemos

tamb´em usar o logaritmo para calcular o n´umero de meses em uma compra com juros

compostos.

Projeto TEIA DO SABER 2006

2 Conceito de logaritmo

Um n´umero excessivamente grande de col´egios e livros ainda apresentam o logaritmo como

um mero artif´ıcio de c´alculo viabilizando o c´alculo r´apido de multiplica¸c˜oes e quocientes

de n´umeros, explorando o fato que o logaritmo tem a propriedade de transformar multiplica

¸c˜oes e quocientes em somas e diferen¸cas. Embora ele tenha sido inventados com esse

prop´osito, o surgimento das calculadoras cient´ıficas eletrˆonicas, em 1972, tornou essa utilidade

do logaritmo um mero assunto de cursos de Hist´oria da Matem´atica! Apesar disso,

e devido a outras propriedades, o logaritmo continua sendo uma das mais importantes

fun¸c˜oes da Matem´atica.

No material que segue, como um passo inicial em dire¸c˜ao do entendimento da real import

ˆancia dos logaritmos na atualidade, examinaremos o seu significado.

3 R´apida recorda¸c˜ao do conceito de logaritmo

Se pensarmos em base 10:

Dizemos que a dezena, a centena, o milhar, e assim por diante (i.e. que 10, 100, 1000, etc.)

tem ordem de grandeza respectivamente 1, 2, 3, etc., pois podemos escrever 10 = 101,

100 = 10 × 10 = 102, 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, etc.

Dizemos que o d´ecimo, o cent´esimo, o mil´esimo, e assim por diante (i.e. que 0.1 , 0.01,

0.001, etc.) tem ordem de grandeza respectivamente −1, −2, −3, etc., pois que podemos

escrever 0.1 = 1/10 = 10−1, 0.01 = 1/100 = 1/10 × 1/10 = 10−2, 0.001 = 1/1000 =

1/10 × 1/10 × 1/10 = 10−3, etc.

Dizemos que 1 tem ordem de grandeza 0, pois 100 = 1.