Conceito de logaritmo

Passo 01

Conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a ideia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir. Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16, onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Outros exemplos:

152 = 225, logo: log15225 = 2

63 = 216, logo: log6216 = 3

54 = 625, logo: log5625 = 4

70 = 1, logo: log71 = 0

Passo 02

Resolver as situações propostas a seguir, concebendo que a função logarítmica, juntamente com sua função inversa – função exponencial – permanece como uma das mais importantes na matemática, por uma série de razões que vão muito além de sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético:

1. Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo: Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior; Nas 8– t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcular:

a) O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2;

b) O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log2 – 0,30 e log3 = 0,48

1.

Q= a quantidade inicial de frutas depois de 1 hora a quantidade fica:

Q -0,20Q= Q(1-0,20) depois de duas horas a quantidade será

Q(1-0,20) - 0,20 Q(1-0,20)= Q(1-0,20)x2 assim depois de t horas a quantidade será F(t)= Q(1-0,20)xt=Q.0,80xt assim depois de 2 horas a quantidade de frutas fica F(t)= Q. 0,8x2=0,64Q

Como a quantidade inicial era Q logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da quantidade inicial.

2.

Seja um determinado valor de t que vamos chamar de k. Assim depois de k horas a quantidade de frutas será F(k)= Q0,80xk porém depois de K horas a quantidade diminui num ritmo de 10% ou seja

F(t)= [Q.0.80xk]. (1-0,10)x(t k)=Q0,80xk0,9x(t-k) para t=8 o valor de F(t)=0,32Q ou seja Q0,80xk0,9x(8-k)=0,32Q 0,8xk.0,9x(8-k)=0,32

Tomando logaritmos de ambos os membrosklog0,8+(8-k) log (0,9)= log(0,32) 0,8=8/10=2x3/10 0,9=9/10=3x2/10 0,32= 32/100= 2x5/100 log0,8= 3log2-log10=3.0,30-1=-0,10 log0,9= 2LOG3-LOG10=