Portfólio 1 Algêbra E cálculo Vetorial

Questões:

Quando seguimentos de reta orientados no mesmo plano representam o mesmo vetor?

Quando seguimentos de retas orientadas possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido, as mesmas representam o mesmo vetor.

Como os vetores são somados e subtraídos geometricamente? E algebricamente?

Geometricamente:

Quando tomamos um ponto A qualquer e a partir dele, traçamos uma reta que podemos chamar de vetor u ⃗ até um ponto B, daí traçar um seguimento orientado BC, que podemos representar por vetor v ⃗. O vetor representado pelo seguimento orientado (AC) ⃗ é, por definição, o vetor soma de u ⃗ e v ⃗, figura 1, enquanto que para encontrarmos a diferença entre dois vetores u ⃗ e v ⃗, escreve-se u ⃗- v ⃗, fazemos como na figura 2.

Figura 1

Figura 2

Algebricamente:

Sejam dois vetores, u ⃗ e v ⃗, não-paralelos. Para cada vetor, existe um par de números reais, tais que v ⃗=a_1 v ⃗_1+a_2 v ⃗_2

Figura 3

Figura 4

v ⃗ é a combinação linaer de v ⃗_1 e v ⃗_2; B={ v ⃗_1,v ⃗_2 } é base

Notação: v ⃗=〖(a_1,a_2)〗_(B ) ou v ⃗_B 〖(a_1,a_2)〗_

Como se encontra a magnitude e a direção de um vetor?

Magnitude:

Seja um vetor v ⃗=(x,y), figura 5, conseguimos através do teorema de Pitágoras:

|v ⃗ |= √(x^2+y^2 )

Figura 5

Direção:

A direção é dada pela reta suporte, onde o ângulo θ determina a orientação.

Se um vetor for multiplicado por um escalar positivo, como o resultado estará relacionado com o vetor original? O que acontece se o escalar for zero? E negativo?

O vetor original terá seu módulo aumentado se multiplicado por vetor positivo, quando zero, o vetor se torna nulo e negativo, tem seu sentido invertido.

Defina o produto escalar de dois vetores. Quais leis algébricas são satisfeitas pelos produtos escalares? Dê exemplos. Quando o produto escalar entre dois vetores é igual a zero?

O produto escalar entre dois vetores quaisquer A ⃗ e B ⃗ é representado por A ⃗ . B ⃗ e é definido por A ⃗ .B ⃗ = AB cos∅. Essa combinação de dois vetores e o cosseno do ângulo entre duas direções é chamada de produto escalar (ou produto interno) dos dois vetores. O ângulo dos dois vetores é definido como o ângulo entre suas direções no espaço. O produto escalar de dois vetores quando tem o ângulo de 90° é igual a zero. A figura abaixo demonstra geometricamente o produto escalar.

Figura 6

Qual interpretação geométrica o produto escalar tem? Dê exemplos.

O vetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual à área do paralelogramo delimitado pelos dois vetores que lhe