Programação Numerica

O presente trabalho tem como objetivo apresentar sobre um método de ajustamento de funções, possuindo solução analítica para funções lineares nos parâmetros, ou seja, discutiremos sobre o Método dos Mínimos quadrados, juntamente com o ajuste linear múltiplo e o caso do ajuste polinomial. Com o auxilio de tais métodos estaremos aplicando sua utilização para resolução de um caso sobre a determinação da tensão de aderência de cálculo bambu-concreto. Demonstrando seu emprego para o ajuste de conjunto de dados quando for necessário.

2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

A aproximação por mínimos quadrados ocorre numa variedade de aplicações sob diferentes nomes: otimização linear, análise de regressão, suavização de dados.

No caso do ajuste de dados, a técnica dos mínimos quadrados é utilizada no cálculo de um conjunto de constantes (coeficientes ou parâmetros) , de uma função que aproxima uma função , desconhecida, da forma:

Observa-se que as constantes desconhecidas aparecem linearmente, embora as funções básicas possam ser funções não lineares em .

As funções são escolhidas de acordo com a natureza dos dados experimentais e pode não ser fácil escolhê-las de modo a ter uma solução razoável. O problema dos mínimos quadrados é resolvido através de uma SELA.

A partir de certo modelo de ajuste, pode-se precisar resolver um sistema mal condicionado, o que pode ser não razoável, sendo então necessária a mudança do modelo de ajuste ou o uso de uma solução de precisão mais alta.

Para calcular os valores de onde é muito menor que (o número de pontos dados), lembraremos que o resíduo ou erro é a diferença entre para cada um dos pontos :

DEFINIÇÃO

Seja R dado por:

Observa-se que R ainda pode ser escrita por:

e nesta forma é mais fácil verificar que R é função dos e passará por um mínimo quando as m derivadas parciais se anularem simultaneamente, ou seja, têm-se:

Como

pode-se escrever que:

o que gera um sistema de n equações algébricas lineares, determinando-se então as constantes .

3. AJUSTE LINEAR MÚLTIPLO

Quando, em uma experiência, a variável resposta depende de duas ou mais variáveis explicativas e o gráfico de dispersão apresenta um comportamento linear, pode-se então aplicar o ajuste linear múltiplo. Tem-se:

Onde, X1, com i= 1,2,...,m, são variáveis distintas entre si. Isto resulta na seguinte equação:

F(x) = β0 + β1x1 + β2x2 + ....βmxm.

Desta maneira mostramos, de maneira análoga ao ajuste linear simples, que as estimativas de βj que minimizam a soma dos quadrados dos desvios é a solução do seguinte sistema de equações lineares:

4. AJUSTE POLINOMIAL

Um caso especial de ajuste de curvas ocorre quando o diagrama de dispersão não apresenta as características lineares presentes nos outros tipos de ajustes. Nestas situações pode-se realizar o ajuste polinomial utilizando as seguintes funções gi(x):

Deste modo, obtemos a seguinte equação:

Portanto, f(x) é um polinômio de grau m. Do estudo de interpolação polinomial sabe-se que estes polinômios são apropriados para aproximar funções de maneira satisfatória. Para o ajuste polinomial de curvas, o sistema fica igual a:

Então, podemos perceber que o ajuste é um caso particular do ajuste linear múltiplo porém utilizando uma única variável independente.

5. DETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE ADERÊNCIA DE CÁLCULO BAMBU-CONCRETO

Os ensaios realizados no trabalho sobre bambu-concreto tiveram como objetivo determinar a tensão de aderência entre esses dois materiais, sendo que o bambu já vem sendo utilizado como reforço por suas propriedades mecânicas compatíveis às dos materiais utilizados em estruturas de concreto armado. Mas devido à baixa aderência desenvolvida entre esse material e o concreto, o bambu quando utilizado como reforço no concreto, absorve a água da mistura, aumentando de volume e voltando às dimensões originais após secagem. Isto faz com que a aderência entre os dois materiais fique prejudicada. O artigo estudado teve como principal objetivo apresentar resultados que visam solucionar os problemas dos deslocamentos parasitas no ensaio de arrancamento e estudar a aderência bambu-concreti verificando a influência da resistência do concreto, das dimensões da seção transversal das varetas de bambu e do aumento da aderência mecânica bambu-concreti por meio de cravação de pino nas varetas de bambu.

A pesquisa foi dividida em duas fases, e levado em consideração os dados de aderência oferecidos pelo aço liso, ou seja, os resultados sofreram comparações, para verificar se o bambu realmente atenderia os esforços realizados.

Ao final, com os resultados retirados pode-se comprovar que, a gaiola de reação desenvolvida apresentou desempenho satisfatório e a metodologia utilizada nos ensaios mostrou-se adequada, não havendo interferência de deslocamento parasita e que em média geral, a tensão de aderência de cálculo entre o bambu e o concreto foi apenas 20% inferior à tensão de aderência entre o aço liso e o concreto. Esse valor indica que é possível a utilização de varetas de bambu em peças de concreto submetidas a esforços de flexão.