Pré Calculo

MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO

FUNÇÕES POLINOMIAIS:

Na resolução de problemas, é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema, por meio de uma equação das expressões obtidas. Veja por exemplo a seguinte figura:

A figura é um cubo de dimensão x, cuja área total é dada por:

6x2

E cujo volume é expresso por x3.

Todas essas expressões são chamadas expressões polinomiais ou polinômios e serão objetos de estudo a seguir.

POLINÔMIO : Polinômio é uma expresão da forma a x + a x + ... + a x + a x + a (com n 1 e an 0). Chamamos a , a , ...,a , a , a de coeficientes do polinômio.

Exemplo: p(x) = 3x – 2x + 5x + 1

Os coeficientes são: a = 3, a = -2, a = 5 e a = 1

Se a 0 e n N, dizemos que o polinômio tem grau n.

Exemplos: 3x - 2x – 1 é um polinômio grau 2.

-4x + x + é um polinômio de grau 3.

POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO:

Considerando, ainda, os coeficientes, um polinômio chama-se identicamente nulo quando P(x) = 0 para todo x R, ou seja, a , a , ..., a , a e a são nulos, e daí temos que o único polinômio nulo, ou polinômio identicamente nulo, é do tipo

0x + 0x + ... + 0x + 0x + 0

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando as operações indicadas pela expressão que define o polinômio, e indica-se por P(a).

EXEMPLO:

Se P(x) = x + 2x - x – 1, o valor de P(x) para x = 2 é:

P(2) = 2 + 2.2 - 2 – 1 = 8 + 8 – 2 – 1 = 13

Portanto, 13 é o valor numérico de P(x), para x = 2.

EXERCÍCIOS

1-(Mack-SP)Determine m R para que o polinomio p(x) = (m-4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m+ 4)x + 4 seja de grau 2.

2-(FEI-SP)Sendo p(x) = ax4 – bx- c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(-1) = 0 e q(1)= 2.

3-(Fuvest-SP)O polinomio P é tal que p(x) + x*p(2 – x) = x2 + 3 para todo x real.

a)Determine p(0), p(1) e p(2).

b)Demosntre que o grau de P é 1.

IGUALDADE DE POLINÔMIOS:

Dois polinomios P(x) e Q(x), são iguais ou idênticos se eles tiverem os mesmos coeficientes.

EXEMPLO:

Determine os valores de a, b e c para que os polinomios

P(x) = 2x + x - 4x + 1 e q(x) = ax + x + bx + c sejam iguais.

Como vimos, para que P(x) = Q(x), eles precisam ter os mesmos coeficientes. Assim a = 2, b = 4 e c = 1.

EXERCÍCIOS :

1-(Puc-sp)Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha

(m+n+p)x4 – (p+1)x3 + (n-p)x + n = 2mx3 + (2p+7)x2 + 5mx = 2m.

Operações com polinômios

As operações de adição e subtração funcionam basicamente iguais para os polinômios. Basta trabalharmos com os coeficientes de mesmo expoente.

Exemplo:

1) p(x ) = 3x² + 2x -1 e q(x) = -x³ + 4x² - 2x - 5

p(x)