Resenha: Demonstração e Verdade - A ciência tal qual se faz

Por: Fabio Menezes da Silva (doutorando em ensino da matemática e da física)

Resenha: Demonstração e verdade (Jean-Louis Gardies; A ciência tal qual se faz, 288-304)

O autor começa por trazer suas intenções em esclarecer as origens sócio-históricas das demonstrações matemáticas, considerando haver algum senso comum que ela está totalmente associada a tal procedimento. Através desse percurso, também explica como a edificação das matemáticas, principalmente por influência grega, ocorreu do modo elemento por elemento. E, ainda, como algumas proposições nos fizeram sentido sem demonstrações, mas com a devida compreensão a partir do século XIX.

O fato de haver indícios históricos de que as sociedades se desenvolveram e desenvolveram suas matemáticas sem a existência das demonstrações tal e qual conhecemos hoje revela que nem sempre estas caminharam indissoluvelmente com as Matemáticas. Assumindo esse ponto de observação, o artigo nos remete às “verdadeiras” contribuições gregas. Isto porque o fato de não possuírem uma escrita ideográfica os colocam em “atraso” em relação à Álgebra se comparadas com países como China, Egito e a Babilônia antiga.

O aparato histórico nos dá conta que a grande contribuição grega foi terem ligado a Matemática às demonstrações como maneira de garantir a verdade. Também são pioneiros no uso de teoremas como forma “evoluída” dos problemas como forma de apresentar as proposições matemáticas. O marco icônico foi o livro Os Elementos de Euclides, que traz em seu bojo teoremas e problemas em que uns se apoiam nos outros (elemento por elemento) e demonstrando os primeiros como forma de garantir a veracidade das respostas, coisas que não eram vistas nas coleções antigas de outros países e que não foi identificado historicamente em nenhuma outra civilização.

Tomando como exemplo o chamado teorema de Pitágoras, o autor tenta estabelecer as diferenças entre teorema e problema. Como se o problema fosse uma questão de resposta sim-não (isso acontece?) e o teorema estivesse mais ligado a respostas de cunho argumentativo (qual é? que? etc). O que os gregos fizeram de novo nos Elementos foi trazer a solução em duas partes bem distintas: a construção da solução e a demonstração de que o caminho foi um caminho “verdadeiro”.

A proposta de acompanhar a resolução de problemas das demonstrações protagonizada pelos Elementos não ganhou contestação mundo a fora mesmo em civilizações consideradas bem avançadas matematicamente ou não. Como se abrissem mão de suas formas de fazer matemática para assumir esta nova condição que lhes foi apresentada. Porém, o autor ainda lembra que um teorema sem demonstração é apenas uma conjectura até ser demonstrado e que os problemas são a origem das elaborações matemáticas para questionar como os teoremas e suas demonstrações angariaram um status tão elevado?

A resposta pode ser a democracia grega que exigia que os sofistas demonstrassem as situações de maneira a convencer os juízes sobre cada causa. Muitas vezes o dilema utilizado pelos sofistas (advogados) utilizava a contradição de teses para refutar uma ideia ou provar que ela estava errada – o que lembra muito o raciocínio por absurdo. É através de Sócrates que os relativismos dos sofistas dão lugar às certezas.

Na própria construção elemento por elemento sugere que não se pode apoiar-se infinitamente em proposições anteriores e que, por isso, haveria as proposições não demonstráveis e que precisam ser acreditáveis: postulados e axiomas. Mesmo algumas noções comuns (tomadas como axiomas durante um bom tempo) puderam ser contestadas como o fato da parte ser sempre menor que um todo – argumento refutável para conjuntos infinitos. De fato, o que o autor apresenta como diferença entre axiomas e postulados é que o último diz respeito apenas à Geometria. Apesar de críticas sobre a distinção, ela traz a concepção de que coisas acontecem diferentemente na aritmética da geometria.