Resumo de derivativos

Resumo de Derivadas

Derivada no Ponto

Quando se tem a função e o ponto em que se quer derivar, ou a função e o resultado da derivada, a fórmula mais conveniente é a seguinte:

f^' (p)=lim┬(x→p)⁡〖(f(x)-f(p))/(x-p)〗

Aonde p é o ponto em questão e x uma derivada qualquer.

Exemplo:

Se f(x)= x^2, calcule f^' (2).

f^' (2)=lim┬(x→2)⁡〖(f^' (x)-f(2))/(x-2)〗=

〖=lim┬(x→2)〗⁡〖(x^2 -2^2)/(x-2)=〗 lim┬(x→2)⁡〖(x^2 -4)/(x-2)=〗

=lim┬(x→2)⁡〖x+2=〗 x+2=4

f^' (2)=4

Equação Geral da Derivada

Quando se quer uma equação para achar a derivada em qualquer ponto, a fórmula mais conveniente é a seguinte:

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Exemplo:

Se f(x)=x^2+9, calculef^' (x).

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗=

=lim┬(h→0)⁡〖((x+h)^2+"9" -〖(x〗^2+9))/h〗=

=lim┬(h→0)⁡〖(x^2+2xh+h^2-x^2)/h〗=lim┬(h→0)⁡〖(2xh+h^2)/h〗=

=lim┬(h→0)⁡〖(h(2x+h))/h〗=lim┬(h→0)⁡〖2x+h〗=2x

f^' (x)=2x

Equação da Reta tangente no Ponto

y-f(p)=f^' (p)*(x-p)

ou

y=f^' (p)*(x-p)+f(p)

Derivadas Básicas (DECORE!)

Considere x uma variável e f(x) e g(x), funções de x.

Exponenciais:

f(x) f^' (x)

x^n nx^(n-1)

x^(-n) -nx^(-n-1)

x^(1/n) 1/n*x^(1/n-1)

Logaritmicas Neperianas:

f(x) f^' (x)

e^x e^x

ln⁡x 1/x ,x>0

k^x k^x*ln⁡k

,k é uma constante.

log_a⁡x 1/(x*ln⁡a )

e^g(x) e^g(x) *g^' (x)

Trigonométricas:

f(x) f^' (x)

sen x cos⁡x

cos⁡〖x 〗 -sen x

tg x sec^2⁡x

cotg x -cosec^2 x

sec⁡x sec⁡x*tg x

cosec x -cosec x*cotg x

sen g(x) g^' (x)*cos⁡〖g(x)〗

cos⁡g(x) -g^' (x)

tg g(x) u^'*sec^2⁡〖g^' (x)〗

Regras Operacionais:

Considere f e g funções diferenciáveis em x, e k uma constante.

i) (f+g)^' (x)=f^' (x)+g^' (x)

ii) (k*f)^' (x)=k*f^' (x)=>(k é uma cte.)

iii) (f*g)^' (x)=f^' (x)*g(x)+f(x)*g^' (x)

iv) (f/g)^' (x)=(f^' (x)*g(x)+f(x)*g^' (x))/(g(x)*g(x))

v) f(x)=g^2 (x) ↔ f^' (x)=k*g^(n-1) (x)*g^' (x)

Regra da Cadeia

y=f(g(x))=fog(x)

y^'=f^' (g(x))*g^' (x)

Exemplo:

Se h(x)=sen〖 x〗^2, calcule h^' (x).

Se f(x)=sen x, e g(x)=x^2 e h(x)=f(g(x)), h^' (x)=f^' (g(x))*g^' (x).

f^' (x)=cos⁡x

g^' (x)=2x

Substituindo-se g(x),f^' (x) e g^' (x) temos:

h^' (x)=cos⁡〖〖(x〗^2)*2x〗

Se h(x)=(x^2+2)^100, calcule h^' (x).

Se f(x)=x^2+2, g(x)=(x)^100 e h(x)=f(g(x)),

então h^' (x)=f^' (g(x))*g^' (x).

f^' (x)=2x

g^' (x)=100(x)^99

Substituindo-se g(x),f^' (x) e g^' (x) temos:

h^' (x)=100(x^2+2)^99*2x

Pontos Críticos

São os pontos da função f(x) aonde f^' (x)=0.

Obs: Pontos críticos são candidatos a pontos de máxima e de mínima da função.

Exemplo:

f(x)=-2x^2+4x+4

f^' (x)=-4x+4

No ponto crítico f^' (x)=0

-4x+4=0

x=(-4)/(-4)=1

Portanto o ponto crítico é o lugar geométrico da função aonde x=1

f(x)=-2x^2+4x+4

f(x)=-2(1)^2+4(1)+4

f(x)=-2+4+4=6

O ponto crítico de f(x) é P=(1 ,6)