Series De Taylor

Séries de MacLaurin e de Taylor

Definições – Série de MacLaurin, Série de Taylor

A série de MacLaurin gerada por f é

a série de Taylor gerada por f em x = 0.

Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em

x = a é

Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n

Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio

Resto de um Polinômio de Taylor

Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por

O valor absoluto é chamado de erro associado à aproximação.

Teorema de Taylor

Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que

onde

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas M e r tais que para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

Combinando Séries de Taylor

Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

Podemos obter a série de MacLaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de MacLaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de MacLaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para

sen x e cos x. Obtemos a série de MacLaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de MacLaurin de sen x por x.