Calculo Series Harmonicas

A série harmônica em matématica:

A série harmônica é uma série muito simples, dada por:

Como se vê, os termos da série harmônica estão decrescendo para zero.

Mas será que, quando o termo geral de uma série tende a zero, ela converge?

Se for assim — e à primeira vista parece que é —, então a série harmônica

deve ser convergente.

Vamos investigar. Após a soma de um grande número de termos da

série harmônica, quando chegarmos a n = 1020

, n= 1030

, n = 10100, etc.,

estaremos somando tão pouco que teremos a impressão de que a soma de

todos os termos da série infinita realmente é um número finito. Aliás, hoje

em dia, com a ajuda do computador, podemos até fazer cálculos

experimentais interessantes.

Vamos supor que fôssemos capazes de somar cada termo da série em

um segundo de tempo. Como um ano tem aproximadamente

365,25 x 24 x 60 x 60 = 31 557 600 segundos,

nesse período de tempo seríamos capazes de somar a série até

n = 31 557 600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17; em 10

anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos, a pouco mais de

22. Como se vê, somas parciais de termos da série harmônica jamais nos

levariam a suspeitar que ela diverge. Pelo contrário, essas somas só nos

levam a pensar que a série seja convergente.

Isso, todavia, é falso! Embora surpreendente, esse resultado pode ser

facilmente demonstrado. .

A demonstração de que a série harmônica diverge, feita pela primeira

vez por Oresme, mostra como é decisivo o papel do raciocínio lógico para

estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta de outra maneira.

De fato, como vimos acima, mesmo somando os termos da série durante

um século (se isso fosse possível), não chegaríamos a um resultado que nos

desse qualquer indício de que a série seria divergente...

Para terminar, vamos fazer mais um exercício de imaginação. Hoje em

dia temos computadores muito rápidos, e a tecnologia está produzindo

máquinas cada vez mais rápidas. Mas isso tem um limite, pois, como

sabemos, nenhum sinal físico pode ser transmitido com velocidade superior

à da luz. Portanto,