Series E Variaveis

Séries Variáveis

São comuns as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimento são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Veremos a partir desse momento dois tipos desses fluxos: o primeiro é denominado Séries Variáveis em Progressão Aritmética e o segundo, Séries Variáveis em Progressão Geométrica.

No caso das séries variáveis em progressão aritmética, serão desenvolvidas e apresentadas fórmulas para o cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro.

Gradientes Uniformes

Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre duas rendas.

Cada termo da anuidade é constituído pela renda-base mais os gradientes acumulados, sendo a renda-base um importe igual à primeira anuidade. G representa o gradiente uniforme.

Séries em Progressão Aritmética Crescente

São aquelas nas quais, nos instantes 1, 2, 3, ..., n, os capitais constituem uma progressão aritmética. Chamando de G o primeiro termo e A o valor da renda-base.

Dada uma taxa de juros compostos por período, observa-se que não há pagamento no fim do primeiro período a que esta se refere. A partir de então, os pagamentos formam uma progressão aritmética de razão igual ao primeiro termo.

Séries Postecipadas

0 1 2 3 4 5

Fórmula do Valor Presente

Fórmula do Valor Futuro

Séries Antecipadas

0 1 2 3 4

Fórmula do Valor Presente

Fórmula do Valor Futuro

Exercícios Resolvidos – Séries Variáveis em Progressão Aritmética Crescente

1. Qual o valor atual da seqüência em gradiente da figura abaixo, sabendo que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês?

1.600

300

200

100

0 1 2 3 16

Variáveis do problema

G  100

i  3% a. m.

n  16 m

PV  ?

Progressão Aritmética Crescente Antecipada.

PV = R$ 9.890,88.

2. Qual o valor nominal ao final de um ano e meio de um capital cuja primeira aplicação foi de R$ 350,00 e as demais mensais e sucessivas, crescendo em progressão aritmética à razão de R$ 350,00 e à taxa de juros compostos de 0,89% ao mês?

Variáveis do problema

G  350,00

i  0,89% a. m.

n  18 m

FV  ?

Progressão Aritmética Crescente Antecipada

FV = R$ 62.978,82.

3. Quanto se deve aplicar hoje, a uma taxa efetiva de juros compostos de 6% ao mês, de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de R$ 20.000,00 daqui a dois meses e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a R$ 20.000,00, R$ 40.000,00, R$ 60.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00.

Variáveis do problema

G  20.000,00

i  6% a. m.

n  6 m

PV  ?



PV = R$ 229.187,03.

4. Um financiamento deverá ser amortizado em sete prestações mensais e crescentes, de acordo com uma P. A. Sabendo-se que a primeira prestação no valor de R$ 1.000,00 já é devida no segundo mês do contrato, que a razão da P. A. é igual ao valor da primeira prestação, e que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira é de 4% ao mês, calcular o montante pago no financiamento.

Variáveis do problema

G  1.000,00

i  4% a. m.

n  8 m

FV  ?



PV = R$ 30.355,66.

Séries em Progressão Aritmética Decrescente

0 1 2 3 4 5

Fórmula do Valor Presente

Fórmula do Valor Futuro

Exercícios Resolvidos – Séries em Progressão Aritmética Decrescente

1. Calcular o valor atual de uma série conforme o esquema a seguir, sendo a taxa de juros compostos de 10,5% ao ano.

900

750

600

450

300