Superficies Quadricas

O gráfico a três dimensões de uma equação de 2º grau em x, y e z

ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + mx + ny + pz + q = 0,

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, representa uma superfície

quádrica ou, simplesmente, uma quádrica.

Classificação de quádricas

Elipsóide

 Representada pela equação

x

a

y

b

z

c

1

2

2

2

2

2

2    .

 a, b e c são númeos reais positivos e representam as medidas dos

semi-eixos do elipsóide.

o Se dois dos semieixos são iguais obtemos um elipsóide de

revolução.

o Se todos os semieixos são iguais obtemos uma esfera.

 Centrada na origem.

 Pontos de intersecção com os eixos coordenados: (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c).

 Secções paralelas ao plano XY: elipses.

 Secções paralelas ao plano XZ: elipses.

 Secções paralelas ao plano YZ: elipses.

Hiperbolóide de uma folha

 Representado pela equação

x

a

y

b

z

c

1

2

2

2

2

2

2    , que é a forma canônica da

equação do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo z.

 As outras duas formas canônicas são

e

,

e representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox,

respectivamente.

o Se a = b obtemos um hiperbolóide de revolução.

 Centrado na origem.

 Pontos de intersecção do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo z com os eixos coordenados:

(±a, 0, 0), (0, ±b, 0).

 Secções paralelas ao plano XY: elipses.

 Secções paralelas ao plano XZ: hipérboles.

 Secções paralelas ao plano YZ: hipérboles.

2

Hiperbolóide de duas folhas

 Representado pela equação

, que é a forma

canônica da equação do hiperbolóide