VETORES

Aula-tema : VETORES____________

1-Conceito:

Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial. Algumas grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são os deslocamentos, velocidade e força. Tais grandezas são chamadas vetoriais e são modeladas por vetores.

Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da letra, como .

Quando escrevemos v = , estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor V. Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor V.

O comprimento ou módulo, a direção e o sentido de um vetor V é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representa módulo, | |.

Qualquer ponto no espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0.

A cada vetor não – nulo V corresponde um vetor oposto -V, que tem o mesmo módulo, a mesma direção, porém sentido contrário ao de V.

(Figura 1)

O vetor V é unitário se , | | = 1

Dois vetores U e V são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: U e V são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a reta paralelas.

2-Operações com Vetores:

2.1 - ADIÇÃO DE VETORES: Sejam os vetores u e v representados pelos seguimentos orientados AB e BC, respectivamente

(Figura 2)

Os pontos A e C determinam o vetor soma = u + v.

2.1.1 – Propriedades da Adição:

I) Associativa: ( u + v ) + w = u + (v + w).

II) Comutativa: u + v = v + u.

III) Existe um só vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:

v + 0 = 0 + v = v

IV) Qualquer que seja o vetor V, existe um só vetor - v ( vetor oposto de v ) tal que :

v + (- v ) = - v + v = 0

2.2 – DIFERENÇA DE VETORES: A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + (- v). Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente. Construído o paralelogramo ABCD, verifica-se que a soma de U+ V é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e que a diferença u – v é representada pelo segmento orientado CB ( a outra diagonal).

(Figura 3).

2.2.1 – Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica- se que : a soma u + v tem origem no referido ponto. A diferença u – v tem origem na extremidade de v ( e, por conseguinte, a diferença v – u tem origem na extremidade de u).

2.3 – MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR: Dado um vetor v 0 e um número real