Vetores

ELETROMAGNETISMO

Claudio Vara de Aquino – Naasson de Alcântara Pereira Jr.

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Este capítulo oferece uma recapitulação aos conhecimentos de álgebra vetorial, já vistos em outras

disciplinas. Estando por isto numerado com o zero, não faz parte de fato dos nossos estudos de

eletromagnetismo. Porém sem ele, o tratamento dos fenômenos em campos elétricos e magnéticos torna-se mais

complicado, uma vez que estes são justificados matematicamente através de operações vetoriais básicas.

SISTEMA DE COORDENADAS

Um exemplo prático de um sistema de coordenadas encontra-se numa carta geográfica

onde um ponto é localizado em função da latitude e da longitude, isto é, medidas angulares

que são tomadas em função de um referencial neste sistema plano. No espaço, um ponto

também pode ser perfeitamente determinado quando conhecemos a sua posição em vista de

um sistema de coordenadas. Particularmente no espaço tridimensional, um ponto é

determinado em função de 3 coordenadas.

Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espaço como fruto da intersecção de

3 superfícies que podem ser planas ou não. Vamos nos ater aqui a três tipos de sistemas de

coordenadas: as cartesianas, as cilíndricas e as esféricas.

Sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido como sistema de coordenadas

retangulares, define um ponto pela intersecção de 3 planos. Neste sistema em particular um

ponto P (x, y, z) encontra-se bem definido no espaço pela intersecção dos planos x, y e z

constantes e paralelos respectivamente ao plano y0z, ao plano x0z e ao plano x0y, conforme

mostra a figura 0.1. É o sistema (x, y, z).

Figura 0.1 O sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares (x, y, z).

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ANÁLISE VETORIAL

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Sistema de coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas o ponto P (r, f, z) é

determinado pela intersecção de uma superfície lateral cilíndrica de raio r constante e altura

infinita, pelo semiplano f (ângulo formado com o eixo x) constante que contem o eixo z e

finalmente pelo plano z constante, como pode ser mostrado na figura 0.2. É o sistema (r, f, z).

Figura 0.2 O sistema de coordenadas cilíndricas (r, f, z)

Sistema de coordenadas esféricas que define um ponto P (r, q, f) na superfície de uma

esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela intersecção desta superfície

com outra cônica q (ângulo formado com o eixo y) constante e um semiplano f (ângulo

formado com o eixo x) constante contendo o eixo z, melhor esclarecido pela figura 0.3. É o

sistema (r, q, f).

Figura 0.3 O sistema de coordenadas esféricas (r, q, f)

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Claudio Vara de Aquino – Naasson de Alcântara Pereira Jr.

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VETOR

Muitas grandezas necessitam de uma direção e de um sentido além do valor e da

unidade, ou seja, de sua intensidade para uma definição perfeita. Assim, definiremos os

vetores como representantes de classes ou conjuntos de segmentos de retas orientadas com

mesma intensidade ou módulo e orientação (direção e sentido) no espaço. A figura 0.4 mostra

um mesmo vetor v

r

representado por segmentos de retas de mesmo tamanho, mesma

orientação e paralelas no espaço.

Figura 0.4 A classe de vetores v

r

no espaço

VERSOR OU VETOR UNITÁRIO

Trata-se de um vetor v aˆ de módulo 1, com a direção de um dado vetor v

r

. Um vetor v

r

é

definido como múltiplo ou submúltiplo de m vezes este versor aˆ v e possui o mesmo sentido

quando m for positivo ou o sentido oposto, caso m seja negativo. Assim, um vetor pode ser

expresso como o produto de um versor por um escalar de modo que:

v v = maˆ

r

(0.1)

Outra forma de se indicar um versor é aquela que exprime a relação entre um vetor e o

seu próprio módulo, isto é,

v

v

v

v

aˆ v

r

r

r

= = (0.2)

Da forma como é definido o versor é um apontador do vetor v

r

que simplesmente indica

a sua vetor sem alterá-lo.

Se conhecermos