Vetores e sua importância em engenharia mecânica

Ciclo Básico de Engenharia – UNIP

INSTITUTO DE C. ENG. TECNOLÓGICO - I C E T

VETORES

Componentes:

Professor: Richard Evêncio da Silva

Manaus-AM

2013

Vetores e sua importância na Engenharia

Resumo

Estre trabalho apresenta o que é um vetor ( do latim vector = condutor), muito utilizado na física e na Engenharia. Com nome, módulo, direção e sentido. Mostra suas operações algébricas tais como: combinação linear, adição de vetores e multiplicação por um escalar, igualdade de vetores e vetores paralelos. Geometricamente: produto escalar e produto vetorial.

Introdução

Algumas grandezas podem ser escritas por um numero real somente acompanhada por uma unidade correspondente não tendo uma direção e sentido. Por exemplo: massa, área, tempo, comprimento. Essas grandezas são chamadas de escalares.

Outras grandezas são analisadas de acordo com o seu módulo, direção de sentido para serem perfeitamente caracterizadas. Por exemplo: força, impulso, movimento de um carro, etc. Então, essas grandezas são denominadas de grandezas vetoriais.

Na engenharia é primordial o conhecimento de vetores para construções de guindastes, elevadores, pontes, dimensionamento de vigas e uma vasta lista de aplicações onde se usa essa grandeza para o projeto ser bem sucedido.

No curso de engenharia matérias como Estática e Resistência dos Materiais, o uso da análise vetorial é fundamental para o aluno possa aprender a base da Engenharia.

Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por cima da letra, como . O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representam módulo, | |.

Vetores tratamento algébrico

1.Combinação Linear

A combinação linear só é possível ser realizada nos casos de vetores linearmente dependentes (LD), que significa que os vetores são paralelos. Caso os vetores sejam linear independentes (LI),ou seja, não são paralelos, o sistema será impossível.

Mostrando:

Equação da combinação do vetor u em relação ao vetor v.

u = a1.v1+ a2.v2+ a3.v3+ ...+ an.vn

Exemplo:

Escreva a combinação linear do vetor u=(1,3,2) em relação aos vetores v=(1,0,0), u=(0,1,0) e w=(0,0,1).

u= a.v + b.u + c.w

(1,3,2)= a. (1,0,0) + b. (0,1,0) + c. (0,0,1)

(1,2,3)= (a, 0,0) + (0,b,0) + (0,0,c)

(1,2,3)= (a+0+0, 0+b+0, 0+0+c)

(1,2,3)= (a,b,c)

Separando os valores por cada eixo ordenado (x,y,z)

a= 1

b= 2

c= 3

Exemplo de uma combinação linear onde os vetores são linearmente independentes (LI), ou seja, não são paralelos:

Escreva a combinação linear do vetor u=(1,2,1) em relação aos vetores v=(1,2,0) , w=(1,0,0) e z=(1,1,0).

U= a.v + b.w+ c.z

(1,2,1)= a.(1,2,0) + b.(1,0,0) + c.(1,1,0)

(1,2,1)= (a,2a,0) + (b,0,0) + (c,c,0)

(1,2,1)= (a+b+c, 2a+0+c, 0+0+0)

(1,2,1)= (a+b+c, 2a+c, 0)

1= a+b+c

2= 2a+c

1= 0 = não existe solução, então, não há combinação linear. O sistema é LI os vetores não são paralelos.

2. Adição de vetores e multiplicação por um escalar

Pode-se determinar o vetor soma ou vetor resultante de dois ou mais vetores através de dois processos:

Método da linha poligonal – Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (vetor resultante) pelo método da linha poligonal.

Figura 1

Esse método é mais utilizado quando se está interessado apenas na orientação (direção e sentido) do vetor soma (resultante) .

Observação: Se, na adição de vetores, a extremidade do último coincidir com a origem do primeiro, o resultado é um vetor nulo ( ).

Método do paralelogramo – Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (resultante) pelo método do paralelogramo.

  Figura 2

Coloque a origem dos dois vetores em um mesmo ponto e, em seguida, trace pelas extremidades de cada um deles, uma paralela ao outro

figura 3

O vetor da figura é o vetor soma ou o vetor resultante.

Sendo β o ângulo entre os dois vetores, pode-se determinar seu módulo pela lei dos cossenos:

Figura 4

S2= A2 + B2 + 2.A.B.cos β

 

Figura 5

Observação: Se os vetores