Álgebra Abstrata -Lista de Exercícios da Aula 3

Álgebra Abstrata -Lista de Exercícios da Aula 3

. Se G é um grupo finito mostre que, dado xG, existe um inteiro n1 tal

n

que a = e

. Considere os seguintes subconjuntos numéricos: Conjunto dos números

naturais; Conjunto dos números inteiros pares; Conjunto dos números

inteiros ímpares; Conjunto {-1, 1}. Verifique se cada um destes conjuntos

é um subgrupo de (,+)

?; x > 0} e -{0} são subgrupos de (-{0} . )

. Verifique se , , {-1,1}, { x

2 3

. Seja G um grupo e x?G. Se o(x) = 10 calcule o(x ) e o(x ).

. Seja G o grupo multiplicativo dos números reais não nulos. Mostre que a

função

definida por é um homomorfismo e descreva seu

núcleo e sua imagem.

. Mostre que o conjunto das raízes n-ésimas da unidade, com a operação produto é um grupo.

7. Seja S o grupo das permutações do conjunto A={a,b,c}. Dê exemplo de

A

dois elementos de S que não comutem.

A

8. Verifique quais dos seguintes grupos são cíclicos e, em caso afirmativo,

encontre um gerador:

a)S onde A={a,b,c} b) c) Grupo das raízes quartas da unidade

A 6

9. Encontre todos os subgrupos dos seguintes grupos:

a)S onde A={a,b,c} b) c) Grupo das raízes quartas da unidade

A 6

10. Encontre o inverso de cada uma das seguintes permutações do grupo S

A

onde A={1,2,3,4}

4321 4321

4321

a =ß =d

=

b) c)

a)

2413 1432

2134