Pesquisa Entre Os Eleitores

Uma pesquisa entre os eleitores de determinada cidade, mostrou a seguinte sequência de dados: em 1990, eram 131 mil homens e 115 mil mulheres; em 1991, eram 133 mil homens e 118 mil mulheres; em 1992, eram 135 mil homens e 121 mil mulheres. A seguir este mesmo comportamento, em que ano a quantidade de eleitores homens e mulheres se igualará?

a) 2004

b) 2005

c) 2006

d) 2007

e) 2008

Vamos lá:

Temos duas P.As, onde a primeira é de homens, e a segunda de mulheres, vamos por etapas, primeiro a P.A de homens, no ano de 1990 (1º termo), temos 131 mil homens, então o primeiro termo "a1" é 131, já em 1991 são 133 homens, em 1992 são 135 mil, e assim, por diante, então temos, 1º, 2º e 3º termos (a1, a2, e a3):

a1 = 131

a2 = 133

a3 = 135

Então temos a fórmula de P.A:

an = a1 + (n - 1) . r

Onde "a1" ´primeiro termo, "an" um termo qualquer, e ainda "r" a razão, assim, queremos primeiro a razão, pois já temos os primeiro termo, então, fórmula de razão:

r = a2 - a1 [valores de "a2" e "a1":]

r = 133 - 131

r = 2

Então aumenta 2 mil homens a cada ano nessa cidade, substituindo na fórmula:

an = a1 + (n - 1) . r

an = 131 + (n - 1) . 2

Temos a fórmula de homens, agora, de mulheres, temos os anos de 1990, 1991, e ainda 1992, com 115, 118, e 121 mil mulheres, então temos:

a1 = 115

a2 = 118

a3 = 121

Pela fórmula de razão:

r = a2 - a1

r = 118 - 115

r = 3

Aumenta 3 mil mulheres na região, agora, fórmula de P.A:

an = a1 + (n - 1) . r

an = 115 + (n - 1) . 3

Agora, o que a questão pede? Pede o ano em que as populações serão as mesmas, se as populações serão as mesmas, tanto "an" homens, quanto "an" mulheres, serão iguais, então:

an = an [substituindo an = 115 + (n - 1) . 3]

115 + (n - 1) . 3 = an [an = 131 + (n - 1) . 2]

115 + (n - 1) . 3 = 131 + (n - 1) . 2

115 + 3n - 3 = 131 + 2n - 2 [o 2 e o 3 multiplica todos os termos entre parênteses]

115 - 3 + 3n = 131 - 2 + 2n

112 + 3n = 129 + 2n

3n = 129 - 112 + 2n [o 112 passa pro 2º termo com sinal trocado]

3n - 2n = 129 - 112 [o 2n também passa pro