Constante de Euler

1. Constante de Euler

1.1 Resumo

A constante de Euler é muito conhecida, pois é um dos números mais importantes da matemática. O número é representado pela letra e, mas as verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, cogita-se que a escolha foi em homenagem ao matemático Euler-Mascheroni um dos primeiros a estudar as propriedades desse número, outra teoria afirma que a escolha da letra, seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial. O nome do número também apresenta outras variantes nas quais se incluem número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial.

Os estudos de Euler usou a denominação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor com até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos e publicando um valor com 16 casas decimais. Já em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra denominada Geometria del compasso, que contribuiu para tornar a constante mais conhecida. Os primeiros dígitos deste número expresso com 40 dígitos decimais é representado por Euler da seguinte forma: e=2,718281828459045235360287471352662497757

A constante e é um número irracional e positivo em função da definição da função exponencial. A irracionalidade de e foi demonstrada pela primeira vez por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler, mas a prova foi estabelecida por Hermite em 1873.

Essa é uma constante matemática que pode ser utilizada de diversas formas, na teoria dos números, é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, bem como na demonstração da existência de um limite que pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral. As aplicações da constante incluem ainda, a sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de .

Outra utilizaçõa do número de Euler é na probabilidade, caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

Uma das curiosidades existentes sobre o número de e, é que há muitas maneiras para se calcular o seu valor, mas nenhum delas dará uma resposta exata, por se tratar de um número é irracional.

Observa-se ainda que o valor de (1 + 1 / n) n se aproxima de e como n fica cada vez maior.

Sendo: n:(1 + 1 / n) n da seguinte forma 1 = 2,00000; 2 = 2,25000; 5 = 2,48832 e assim sucessivamente.

Cabe destacar também que o valor de e também é igual a 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! +: 1/5! + 1/6! + 1/7!, assim teremos os primeiros termos 1+1+1/2+1/6+1/24+1/120=2,718055556

Outra forma curiosa é observar que após o "2.7" o número "1828" aparece duas vezes, 2.7 1828 1828 e logo a seguir aparecem o ângulo de um isósceles é o ângulo de triângulo retângulo de 45 °, 90 °, 45 °, conforme a demonstração: 2,7 1828 1828 45 90 45.

Desta forma verifica-se que a constante de Euler aparece em várias constantes fundamentais e por isso e considerada como a expressão mais "bela" da matemática.