Series harmônicas na musica e na matemática como a constante de Euler se relaciona com a serie

Series harmônicas na musica e na matemática como a constante de Euler se relaciona com a serie

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.

Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.

Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extensão e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série harmônica.

Série Harmônica Matemática

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônico é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série

que claramente diverge.