Derivadas

Você certamente já ouviu a palavra derivada. Se não, no mínimo já ouviu falar de Cálculo. Não é por nada que ele é tão famoso. Os conceitos envolvidos em seu estudo são fundamentais para ciências como a Química e, principalmente, a Física. Logo, darei alguns exemplos que demonstram tal importância.

O Cálculo está presente na maioria dos cursos de ciências exatas, e é na disciplina de Cálculo I que se tem o primeiro contato com os limites, as derivadas e as integrais (conceitos de grande importância para a matemática). Por conta da diversidade de conteúdo que precisa ser analisado, essa matéria é uma das que causam mais medo nos calouros.

Um dos pioneiros do Cálculo Moderno é Sir Isaac Newton – aquele da maçã (simultaneamente a Gottfried Leibniz). Sim, um físico desenvolveu conceitos do cálculo, e não é por nada – ressalto o quão fundamental é o cálculo para a Física. Ele relutou até aceitar que fossem publicadas suas descobertas acerca dessa maravilhosa área da matemática. Embora seja interessante explorar os fatos históricos, não pretendo me delongar neste ponto. Então, vamos à parte boa, a Matemática.

A noção de derivada é quase uma extensão do conceito de coeficiente angular da geometria analítica, mas se aplica a qualquer função, e não apenas a retas. Se você lembra o que aprendeu sobre isso no Ensino Médio já é um bom começo. Aos que não se recordam muito bem, darei uma breve explicação:

O coeficiente angular de uma reta diz respeito à inclinação desta reta. Quanto mais distante de zero é o coeficiente angular, maior é a inclinação da reta. Calcula-se o coeficiente angular de uma reta pela razão de uma variação de y por uma variação de x, correspondente à reta. Matematicamente, a = (y – y’) / (x-x’), onde a é o coeficiente angular, y e y’ são valores arbitrários para y, e x e x’ são os valores de x correspondentes àqueles valores de y. O coeficiente angular equivale à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Uma “interpretação intuitiva” disso é que o valor do coeficiente angular representa o quanto y varia em função de x. Por exemplo, se esse valor é 4, para cada variação de x haverá uma variação corresponde quádrupla desse valor em y. Observe o exemplo:

y = 4.x

Se x = 1, y=4. Se x = 2, y = 8. Nota-se que o x variou em 1 unidade e o y variou em 4, já que (8 – 4) / (2-1) = 4.

Para entender o que é a derivada, é preciso que se conheça o conceito de limite.

O limite é uma aproximação infinitesimal de x a algum valor, mas sem que x seja exatamente aquele valor.

Vamos analisar a função y = 1/x. Essa função não está definida para x = 0, pois não existe divisão com quociente 0 (zero) na matemática. Porém, você pode calcular o limite da função 1/x, com x tendendo a zero. Quanto isso dá? (No caso, vamos calcular o limite com x tendendo a zero pela direita, ou seja, pelos valores mais positivos).

Pegue um valor cada vez mais próximo de zero e substitua na função dada. Se pegarmos x = 0,1 obtemos y = 10. Pegando x = 10^-10 (dez elevado a menos dez, que é 0,0000000001), obtemos y=10^10, que é 10000000000. Com x = 10^-10000000, teremos um y de 10^10000000, e assim sucessivamente. Não é difícil concluir que se aproximarmos x infinitamente de zero, obteremos um valor infinito de y. Então, o limite lateral à direita com x tendendo a zero de 1/x é infinito (e assim também será com o limite lateral à esquerda).

Sabendo o que são limites, agora podemos estudar as derivadas:

A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x. É só pensar, por exemplo, numa função como uma parábola, a famosa função de segundo grau, do Ensino Médio. A inclinação do gráfico dessa função não é a mesma para todos os valores de x. Assim funciona com uma função trigonométrica, como a função seno, por exemplo.

Agora olhe a imagem deste post. Você vê que aquilo é um esboço de algo que se assemelha ao