Aplicação da álgebra linear na engenharia

APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA Andresa Pescador – [e-mail] Universidade do Estado de Santa Catarina Rua Dr. Getúlio Vargas, 2822 89140-000 - Ibirama - SC

Janaína Poffo Possamai – [e-mail] Cristiano Roberto Possamai – [e-mail] Universidade Regional de Blumenau Rua Antônio da Veiga, 140 89012-900 - Blumenau – SC Resumo: Este trabalho discute a importância de apresentar aplicações no estudo da disciplina álgebra linear nos cursos de engenharia. Apresenta-se alguns casos de aplicação de sistemas lineares, através de circuitos elétricos na engenharia elétrica, balanceamento de equações químicas visando a engenharia de produção e equilíbrio de estruturas metálicas na engenharia civil. Os problemas apresentados são solucionados através da resolução matricial dos sistemas lineares, que envolvem dados numéricos, permitindo sua resolução manual. Problemas reais, em geral, apresentam dimensões maiores e necessitam do auxilio de softwares computacionais apropriados para a resolução. Palavras Chaves: Matrizes, Sistemas Lineares, Formação de Engenheiros 1 INTRODUÇÃO A matemática tem relação direta com várias áreas do conhecimento (física, química, engenharia, informática, economia, biologia, medicina, ciências humanas), ocupando um lugar de destaque no mundo científico contemporâneo. Na modelagem de situações que necessitam avaliar a tendência dos dados reais, na codificação e criptografia, na implementação de algoritmos para a criação de softwares, no cálculo estocástico em finanças, tem-se nesses alguns exemplos do papel essencial da matemática em nossa sociedade que se torna cada vez mais tecnológica. Encontra-se assim, em diversas profissões (executivos altamente qualificados, tecnólogos superiores, altos cargos industriais, administrativos, engenheiros) esta necessidade de competências matemáticas adaptadas. Nos cursos de engenharia de modo geral tem-se nos primeiros semestres um núcleo comum de disciplinas básicas da área da matemática, entre elas, álgebra linear, geometria analítica e cálculo diferencial e integral. Os profissionais da engenharia necessitam da formação de competências para sua atuação, das quais, construir modelos para descrever e analisar situações, testar hipóteses, analisar e otimizar processos, que constituem habilidades adquiridas no estudo dessas disciplinas da matemática. Neste trabalho destaca-se a disciplina de álgebra linear na formação de engenheiros.

2 ESTUDO DA ÁLGEBRA LINEAR A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à estatística, onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra linear tem crescido nas últimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse. Algumas das possibilidades de aplicações dos conteúdos da disciplina na modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são: • Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de petróleo, entre outros. • Álgebra matricial em computação gráfica. • Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos. • Espaços vetoriais em sistemas de controle. • Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros. Apesar da linguagem específica desta disciplina muitos problemas de ordem prática são resolvidos por meio de técnicas simples, como por exemplo, o uso de sistemas lineares para tratar de situações que envolvam n variáveis relacionadas através de m equações. Os algoritmos de resolução de sistemas lineares podem ser apresentados através da notação matricial, tornando sua aplicação uma expansão do tratamento com números. 3 APLICAÇÕES São apresentadas três aplicações onde faz-se necessário o uso de sistemas lineares: uma aplicação na engenharia elétrica através de circuitos elétricos, uma na engenharia química no balanceamento de equações e uma aplicação na engenharia civil através de estruturas metálicas. 3.1 Circuitos Elétricos Para tratar de circuitos elétricos faz-se necessário definir: Lei de Ohm, em que a força elétrica é o produto da resistência pela corrente elétrica, descrita pela equação: E = R·i (1) e as Leis de Kirchhoff em que tem-se a Lei dos Nós, onde a soma das correntes que entram em qualquer nó é igual à soma das correntes que saem dele, e a Lei das Malhas, onde a soma das quedas de tensão ao longo de qualquer circuito é igual à tensão total em torno do circuito (fornecida pelas baterias). Numericamente, pode-se analisar o caso abaixo onde deseja-se determinar as correntes do circuito elétrico.

Figura 1 – Circuito elétrico

No circuito com duas baterias e quatro resistores, tem-se as seguintes equações para os nós:

i i i 0 1 2 3    (2)

i i i 0 1 2 3    (3)

Pelo circuito CABC tem-se:

4i i 8 1 2   (4)

Pelo circuito DABD:

i 4i 16 2 3   (5)

Sendo assim, o sistema linear em questão segue:



 

 

 

  

i 4i 16

4i i 8

i i i 0

2 3

1 2

1 2 3

(6)

O sistema linear formado (6) pode ser escrito na forma matricial Ai  B, onde a matriz A é a

matriz dos coeficientes, ou seja,



















 



0 1 4

4 1 0

1 1 1

A , o vetor

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