Aplicações De Algebra Linear Na Engenharia

1 INTRODUÇÃO

A matemática tem relação direta com várias áreas do conhecimento (física, química, engenharia, informática, economia, biologia, medicina, ciências humanas), ocupando um lugar de destaque no mundo científico contemporâneo.

Na modelagem de situações que necessitam avaliar a tendência dos dados reais, na codificação e criptografia, na implementação de algoritmos para a criação de softwares, no cálculo estocástico em finanças, tem-se nesses alguns exemplos do papel essencial da matemática em nossa sociedade que se torna cada vez mais tecnológica.

Encontra-se assim, em diversas profissões (executivos altamente qualificados, tecnólogos superiores, altos cargos industriais, administrativos, engenheiros) esta necessidade de competências matemáticas adaptadas.

Nos cursos de engenharia de modo geral tem-se nos primeiros semestres um núcleo comum de disciplinas básicas da área da matemática, entre elas, álgebra linear, geometria analítica e cálculo diferencial e integral. Os profissionais da engenharia necessitam da formação de competências para sua atuação, das quais, construir modelos para descrever e analisar situações, testar hipóteses, analisar e aperfeiçoar processos, que constituem habilidades adquiridas no estudo dessas disciplinas da matemática.

Neste trabalho destaca-se a disciplina de álgebra linear na formação de engenheiros.

2 ESTUDO DA ÁLGEBRA LINEAR

A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à estatística, onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra linear tem crescido nas últimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse.

Algumas das possibilidades de aplicações dos conteúdos da disciplina na modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são:

• Equações lineares em decisões gerenciais; exploração de petróleo, entre outros.

• Álgebra matricial em computação gráfica.

• Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos.

• Espaços vetoriais em sistemas de controle.

• Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros.

Apesar da linguagem específica desta disciplina muitos problemas de ordem prática são resolvidos por meio de técnicas simples, como por exemplo, o uso de sistemas lineares para tratar de situações que envolvam n variáveis relacionadas através de m equações. Os algoritmos de resolução de sistemas lineares podem ser apresentados através da notação matricial, tornando sua aplicação uma expansão do tratamento com números.

3 APLICAÇÕES

Construção de estruturas metálicas

Seja um guindaste que deve erguer cargas, assim, pode-se dizer que tem-se um problema de uma estrutura metálica na qual quer-se determinar o esforço mecânico em cada viga da estrutura, de forma que se possa escolher as vigas com a resistência adequada.

A partir do momento que se conhece a massa a ser suspensa e também o comprimento do braço deste guindaste, o cálculo das forças que incidem na estrutura torna-se imediato. Para que a estrutura permaneça em equilíbrio o somatório das forças em cada nó, de 1 a 6, deve ser nula tanto na direção horizontal como na direção vertical. Para tanto se calcula a força exercida por cada viga nos nós, ou seja, calcula-se a força

ij f, que significa a força exercida sobre o nó i pela viga que liga o nó i ao nó j.

Para exemplificar, toma-se o nó 2, que é afetado pelas vigas que o ligam aos nós 1,3 e 4.

Suponha que θij representa o ângulo entre a viga (ij) e a vertical. Ou seja, no equilíbrio de forças, para o nó 2 tem-se as seguintes equações:

Constroem-se as demais equações do somatório das forças para cada um dos nós, ou seja,

Tem-se:

E por fim constrói-se a equação que representa a situação em que a estrutura, como um

todo, não tem nenhuma aceleração horizontal, promovendo o equilíbrio:

Faz-se e assim, podem-se escrever as equações (12)-(20) na forma matricial, isto é, Af = F

Neste problema, não ter solução significaria que a estrutura correspondente não seria capaz de se manter em pé, e teria de ser trocada. Se o problema agora fosse estrutura metálica da figura (3), trabalhar-se-ia de forma análoga,