Atps De Calculo III

PASSO 1

História do surgimento da Integral.

A integral teve seu início em um problema chamado pelos antigos de quadratura que hoje seria o nosso conhecido processo para determinar áreas. Os gregos tiveram um problema para medir superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles comparavam com a figura que achavam mais simples, o quadrado. Eles buscavam encontrar um tipo de quadrado que tivesse a área igual à da figura que estavam estudando.

Os geômetras ficavam fascinados com as figuras curvilíneas como o círculo e as lúnulas que são formas que se assemelham a lua, a última estudada por Hipócrates e Chios, que fez as primeiras quadraturas da história. Já o Antifon dedicava se a estudar as quadraturas em círculos usando figuras quadradas. O método utilizado pelo Antifon nunca poderia ser completado, porém deu início à exaustão.

Uma das maiores contribuições gregas para o cálculo, o teorema de Arquimedes para a quadratura das parábolas se deu baseada nesse contexto em 225 a.C. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Ele gerou uma soma com infinitos termos, porém conseguiu provar seu resultado. Evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Além disso Arquimedes descobriu uma das primeiras aproximações do número p utilizando a exaustão para encontrar a área de um círculo.

Arquimedes também estudou o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução. Ele encontrou muitas dizimas em seus cálculos, por isso criou um modo que ficasse mais fácil, se não fosse nem maior, nem menor deveria ser igual.

Depois de Aquimedes só foram aparecer novas contribuições para o Cálculo integral e XVI quando Mecânica junto com vários matemáticos foram examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Nesse caso ele utilizou o método grego para resolver os problemas desse tipo.

Kepler, estudou sobre o movimento dos planetas e teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica, onde ele pensava na superfície como uma soma de linhas, o que era muito impreciso. Para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para fazer esses cálculos, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Fermat e Cavalieri escreveram, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri pegou a ideia de Kepler. Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele fez isso a sua maneira, que hoje temos nessa forma: .

Já a aritmezação do cálculo foi feita por Wallis em 1655 no livro Arithmetica infinitorum. Ele desenvolveu princípios de indução e interpolação que fizeram com que ele encontrasse muitos resultados importantes entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das "parábolas maiores": curvas do tipo , onde é constante e n=2,3,4, etc. Pegando isso ele fez uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros que contribuíram para sua história e estudos.

Desde a época de Galileo o movimento já vinha sendo estudado, Torricelli e Barrow viam o problema do movimento com variação em suas velocidades. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. Tendo isso em mente surgiu a ideia de que a a integral e a derivado eram processos inversos que já era familiar.

Newton seguindo essa diretriz foi quem formulou o teorema e desenvolveu o cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos de dasfluxions (derivação) e fluents (integração). Para Newton, a integração consistia em achar integral para a derivada. Usando esse método logo se tinha o fato de que a derivada da velocidade era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa .Portanto o cálculo que ele desenvolveu para a área é: ". Ele via o cálculo como geométrico.

Leibniz em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius sobre o cálculo integral. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo, e o seu surgimento foi mérito em conjunto de vários pesquisadores ao longo de milhares de anos.

PASSO 2

DESAFIO A:

DESAFIO B:

C(q) = 1000+50q

1000 dq+ 50q dq

1000 dq + 50 q dq

1000 + C + 50 q22 dq

1000q+25 q2+ C

C0= 1000 .0+ 25 02+ C

10000=0+0+C

C=10000

Cq= 10000+1000q+25q²

RESPOSTA: (A)

DESAFIO C:

2416,1 e0,07t

w=0,07t 16,124e0,07t

dw=0,07 dt 16,1 24ew