Atps vida comercial diária e uso de funções matemáticas

DESAFIO

Suponha que você e sua equipe de trabalho fazem parte de um escritório de

contabilidade de renome na idade onde vocês moram. O escritório, perante sua clientela,

demonstra, além da competência contábil esperada no que diz respeito ao cumprimento de

legislação pertinente, à ética profissional e à guarda de documento, comprometimento de

seus colaboradores para o bom desempenho das empresas clientes.

Considerando o histórico do escritório contábil, a Escola “Reforço Escolar” procurou a

orientação de seus profissionais para que viesse a ampliar seus negócios.

A realização deste desafio é importante porque a Matemática está presente em

diversas situações reais do dia a dia do administrador e do contador. É imprescindível que se

saiba aplicar as ferramentas matemáticas para se obtiver bons resultados; minimizar custos

fizer empréstimos, maximizar lucros, controlar gastos, são só alguns exemplos de aplicações

dos conceitos estudados na disciplina Matemática Aplicada. Neste estudo de caso os alunos

resolverão vários problemas práticos envolvendo os conceitos teóricos estudados.

Objetivo do Desafio

Modelar situações reais do dia a dia de uma empresa e, usando funções matemáticas e

analisando resultados, elaborar relatórios justificando cada decisão tomada.

ETAPA 1

Esta atividade é importante para que você aprenda a ler e compreender textos

matemáticos além de localizar dados importantes para a solução dos problemas propostos.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Individual e em Equipe)

Leia com atenção o texto apresentado no anexo I, primeiro de forma individual, depois, em

grupo, destacando os dados apresentados e problemas propostos.

Passo 2 (Equipe)

Destacar do texto as questões a serem resolvidas. Aqui, a equipe deverá transcrever as

situações apresentadas no texto: “Escola Reforço Escolar”, disponível no anexo I.

Passo 3 (Equipe)

Identificar o conteúdo matemático relacionado aos problemas propostos. Identificar, neste

passo, significa classificar o conteúdo. Por exemplo: trata-se de função do primeiro grau; ou:

trata-se de função exponencial. Como sugestão:

“Os problemas abordam os seguintes conteúdos: função de primeiro grau, função de

segundo grau, elaboração de gráficos, verificação de máximos e mínimos,...” Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Passo 4 (Equipe)

Transcrever os elementos encontrados nos passos 2 e 3 para um arquivo texto com extensão

“.doc”.

ETAPA 2

Esta atividade é importante para que você aplique conceitos teóricos de funções a

situações reais.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Para cada conteúdo identificado no Passo 3 da Etapa 1, o grupo deverá redigir um ou dois

parágrafos que deverão conter o nome do conteúdo e suas principais características. Como

fonte de pesquisa poderá ser utilizado o Livro-Texto da disciplina (referenciado ao final desta

ATPS), ou outras bibliografias do acervo da biblioteca do Polo Presencial.

Exemplo:

“Função Logarítmica: (1) principais características: a existência da função dependerá de base

e logaritmando sempre positivos e base sempre diferente de um. O domínio, a imagem e o

gráfico da função dependerão das expressões que definem o logaritmo. (2) Uma aplicação

direta da função logarítmica é o calculo de taxa e prazo quando se estudam os fatos da

capitalização composta.”

Passo 2 (Equipe)

Resolver cada um dos problemas identificados no passo 3 da etapa 1, atividade 1, anexo I. A

solução deverá conter: a fórmula utilizada, as substituições realizadas e o resultado

encontrado (assim como realizado nos slides das teleaulas).

Passo 3 (Equipe)

Desenhe os gráficos das funções identificadas nos problemas propostos. Utilize um plano

cartesiano para cada função.

No anexo II você encontrará orientação para utilizar o aplicativo winplot cuja cópia poderá

ser obtida no link:

www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html (último acesso em 30/01/2013)

Passo 4 (Equipe)

Reúna os textos produzidos nos passos 1, 2 e 3 (inclusive os gráficos produzidos) no arquivo

texto criado no Passo 4 da Etapa 1. Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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ETAPA 3

Um dos pontos principais do conteúdo trabalhado é o entendimento da importância

das funções em geral e das funções marginais no contexto administrativo. Nesta etapa, o

grupo reforçará o conceito de função e de variação.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

O grupo deve escrever um texto que contenha dois parágrafos explicando a diferença entre

variação média e variação imediata.

Para tanto, sugerimos a leitura do texto:

OLIVEIRA, Edson de. Apontamentos de Cálculo I. (páginas 43 a 48). Disponível em:

<http://pt.scribd.com/doc/40061316/20/Taxa-de-variacao-instantanea-ou-derivada>.

Acesso em 30/01/2013.

Passo 2 (Equipe)

No passo 2 da etapa 2, o grupo determinou funções para escrever o rendimento da escola, ou

seja, a função receita, considerando os diferentes turnos de aulas.

Agora, vocês devem calcular a variação média da função receita do período matutino (em

180  q  210 onde q representa a quantidade de alunos matriculados) e a variação

instantânea da função receita para o turno da manhã quando a quantidade de alunos for

exatamente 201 matriculados (mostre o cálculo).

Passo 3 (Equipe)

No passo 2 etapa 2, a equipe calculou um valor médio para as mensalidades da escola e

escreveu uma função receita geral (Rgeral) considerando o valor médio das mensalidades.

Agora, escrevam também a função Custo (considere custo fixo e a folha de pagamento dos

professores). Depois, calcule a função Lucro (atividades 2 e 3 do anexo I).

Passo 4 (Equipe)

Para que possamos alcançar o objetivo da atividade, será preciso que o grupo verifique os

possíveis valores de pagamento para a compra dos computadores e da qualificação de

pessoal que deverão ser devolvidos ao banco.

Para calcular os diferentes valores de prestação para pagamento das prestações para

aquisição dos computadores, utilize a seguinte fórmula:

[(1 i) 1)

P *i *(1 i)

R n

n

 



 , onde R = valor da prestação; P = valor do empréstimo; i = taxa de juro e n

= número de prestações.

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O grupo deve elaborar uma tabela para as seguintes quantidades de prestações: 2, 5, 10, 20 e

24. Construir o gráfico (atividade 4 do anexo I)

Para calcular o valor a ser devolvido pelo Capital de Giro a ser utilizado no treinamento dos

professores, utilizar a fórmula: n M  C *(1  i) , onde M = valor do montante a ser pago; C =

valor do empréstimo; i = taxa de juro e n = prazo de pagamento (atividade 5 – anexo I).

Reúna os textos produzidos nos passos 1, 2 e 3 no arquivo texto criado no Passo 4 da Etapa 1.

ETAPA 4

Esta etapa é importante para se compreender a “elasticidade preço” como aplicação

direta das regras de derivação.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

O grupo deve escrever um texto que contenha dois parágrafos explicando o conceito de

elasticidade.

Para tanto, sugerimos a leitura do texto:

MENDES, Jefferson M. G., Elasticidade e Estratégias de Preços. Disponível em:

<http://jeffersonmgmendes.com/arquivos/economia-ii_licao-

06_elasticidade_e_estrategia_de_precos-

5p.pdf?PHPSESSID=0260c8dbd6d8150c5f943d018f2343ca>. Acesso em 30/01/2013.

Passo 2 (Equipe)

A demanda para as matrículas no período matutino, na escola, é dada por q  900  3p , onde

o preço varia no intervalo 180 ≤ p ≤ 220. Nestas condições, a equipe deverá obter a função

que mede a elasticidade-preço da demanda para cada preço e obtenha a elasticidade para os

preços p = 195 e p = 215 e interprete as respostas.

Passo 3 (Equipe)

A equipe deverá redigir um pequeno texto (entre 10 e 20 linhas) denominado “Considerações

Finais” que contenha a opinião dos componentes a respeito do entrelaçamento dos conteúdos

aprendidos nas teleaulas, a atividade proposta e a vida profissional.

Passo 4 (Equipe)

A equipe deverá elaborar um relatório final contendo todas as etapas desta ATPS e postá-lo

individualmente no ambiente virtual, para a avaliação e validação da nota pelo tutor a

distância, em arquivo único, com extensão “.doc”. Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Livro-Texto da Disciplina

MUROLO, Afrânio e BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e

contabilidade. São Paulo: Thomsom Pioneira, 2008.

Critérios de Avaliação

 Cumprimento das etapas da ATPS.

 Estrutura analítica do relatório.

 Relatório com as funções resolvidas.

 Estrutura do trabalho.

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Anexo I – Escola Reforço Escolar

Há alguns anos instalada no mercado, a “Reforço Escolar” precisou contratar mais

dois professores de Línguas Portuguesa e Espanhola e um de Matemática.

Aproveitando o bom momento, a Diretora Pedagógica da escola convenceu o

proprietário que não bastava expandir o número de alunos atendidos, mas também era

necessário adequar o quadro de professores (tanto os antigos quanto os novos contratados)

às novas exigências do campo educacional fornecendo aos alunos e pais de alunos que

procuravam a Instituição não somente o “reforço escolar” propriamente, mas um

acompanhamento cotidiano que permitisse a todos os componentes da comunidade escolar a

entrada e a permanência no mundo dos saberes científicos, desde a discussão de pontos de

vista até a manipulação de ferramentas de última geração como computadores e demais

mídias educacionais.

Plenamente convencido do nicho de mercado que conquistaria, o dono da escola

procurou o gerente do Banco ABC SA onde mantém a conta corrente da Escola e apresentou

levantamento sobre o custo das despesas para implantação do programa de reorganização da

“Reforço Escolar”.

A Planilha de gastos apresentada pelo Diretor foi a seguinte:

Custo para capacitação de 20 professores da escola (oferecido pelo Centro

Universitário da localidade): R$ 40.000,00, no ato de contratação dos serviços.

Custo para aquisição de 30 novos computadores (multimídia) + pacote de softwares

educativos: R$ 54.000,00, no ato de entrega dos computadores.

O Gerente do Banco ABC SA atualizou o lucro bruto no cadastro da escola, com base

em documentos onde constam os seguintes dados:

A escola funciona em três períodos: manhã, tarde e noite; oferecendo reforço escolar

somente pela manhã, somente à tarde, somente à noite ou aos finais de semana.

O número de alunos matriculados para este ano é pela manhã: 180, à tarde: 200, à

noite: 140. Aos finais de semana: 60.

São oferecidas aulas de Português, Língua Espanhola, Língua Inglesa, Matemática,

Física, Química, Biologia e Informática.

Os custos para pais e alunos são: pela manhã e à tarde: R$ 200,00 por aluno. À noite,

R$ 150,00 por aluno. O intensivo de final de semana, R$ 130,00 por aluno.

Atividade 1 - Escreva a função Receita para cada turno de aulas (manhã, tarde, noite e

final de semana). Depois, calcule o valor médio das mensalidades e escreva outra função

Receita para o valor obtido como média.

Os professores têm uma carga horária semanal de trabalho de 2 horas-aula para cada

grupo de 20 alunos e o salário bruto para tanto é de R$ 50,00 por hora/aula menos 20% de

descontos (FGTS, INSS e outros descontos lícitos). Despesas Operacionais, incluindo

impostos e tarifas, giram em torno de R$ 49.800,00 (incluindo custo dos trabalhadores

administrativos igualmente importantes para o bom funcionamento da estrutura escolar).

Atividade 2 - Escreva a função Custo da escola que dependerá de escrever a função

Salário dos professores. Utilize variáveis diferentes para representar o número de alunos e o

número de grupos de 20 alunos que poderão ser formados.

Atividade 3 – Obtenha a função lucro e o valor informado pelo gerente no cadastro da

escola.

O financiamento de computadores e periféricos para fins educacionais, inclusive para

unidades escolares, dentro do Banco ABC tem tarifa diferenciada de 1,0% ao mês e o prazo Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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que pode variar de 2 até 24 parcelas. Sendo que a data do primeiro pagamento acontece

trinta dias depois de assinado o contrato de financiamento.

Atividade 4 – Obtenha a função que determina o valor das prestações do

financiamento do custo dos computadores e elabore tabela e gráfico para: 2, 5, 10, 20 e 24

prestações.

A verba necessária para o treinamento dos professores poderá ser obtida por meio da

utilização da modalidade “Capital de Giro”, a uma taxa especial de 0,5% ao mês (já que deve

atender a necessidade de capital da empresa), com vencimento em um ano da data da

assinatura do contrato.

Atividade 5 – Obtenha a função que determina o valor total para pagamento do capital

de giro.

A proposta é válida por uma semana. O Dono da Escola comunica ao Gerente do

Banco ABC que vai consultar seu Contador e que retornará no dia seguinte para confirmar,

ou não, as operações junto à Instituição.

Cabe a você acadêmico, julgar matematicamente as possibilidades que o Diretor da

Escola possui e aconselhá-lo à melhor escolha.

Atividade 6 – Conselhos do contador – o que o grupo diria ao Dono da Escola?

Mãos à obra. Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Anexo II – Winplot – orientações fundamentais.

Usar a ferramenta gráfica facilitará seu trabalho.

Em seguida, os principais elementos do winplot caso você não tenha utilizado a

ferramenta no polo onde estuda.

Baixe da internet a ferramenta (utilize o site indicado):

www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html (último acesso em 11/12/2012)

Instale o programa.

Clique no atalho gerado na área de trabalho. Na tela aparecerá:

Clique em “fechar”. Em seguida, clique em “janela”.

Escolha 2-dim

Maximize a área de trabalho. Clique em “equação”.

Na sequência, escolha: “explicita”. Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Na janela que se apresentará digite os termos da expressão. Suponha, a título de

exemplo que a função fosse y x 5x 6

2

   :

Observe que a função foi digitada exatamente como está escrita no exemplo, contudo

para identificar o expoente 2 foi necessário digitar o acento circunflexo “^” que indica que o

número em seguida é uma potência.

Nesta tela você poderá alterar a espessura da linha e a cor do gráfico, assim como

alterar os valores (máximo e mínimo) das abscissas. Feitas as alterações, clique em “ok”.

Na janela identificada por “inventário”, clique em fechar:

Repita o procedimento para todas as expressões apresentadas pelo problema.

Para visualizar melhor os gráficos, use as setas de navegação para mover a figura para

a direita, para a esquerda, para cima e para baixo. Page up amplia a figura assim como Page

Down, diminui.

Finalizada a construção dos gráficos, utilize a tecla [Print Screen] – teclado do

computador – para copiar a figura. Para isso, basta apertar a tecla.

Abra a ferramenta “Paint” do Windows. Clique: menu “iniciar”, “todos os

programas”, “acessórios”, “paint”. Assim que a ferramenta oferecer a tela inicial, clique em

“editar” e “colar”.

A página do winplot aparecerá na íntegra.

Utilize a ferramenta selecionar para copiar a parte da figura que lhe interessa. Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Ciências Contábeis - 3ª Série - Matemática Aplicada

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Anexo III – APONTAMENTOS DE CÁLCULO I – Capítulo 3 – Derivadas2

Seja Q a quantidade vendida de um produto em função do tempo, isto é, Q = f(t). A

taxa de variação média dessa função representa uma medida de rapidez com que ela varia,

em média, entre dois valores t1 e t2, considerada da mesma forma que a velocidade média de

um carro mede a rapidez média com que ele se move entre dois instantes fixados. Em muitos

problemas deseja-se obter a rapidez com que a quantidade vendida varia, em um dado

instante t1, que corresponde ao conceito de velocidade de um carro em um instante fixado.

Para se resolver problemas como este, é necessário o conceito de derivada, que será

desenvolvido neste capítulo.

3.1 Taxa de variação média

Uma partícula se movimenta de acordo com a equação horária s  f(t)  50  4t, com

a posição média em metros e o tempo em segundos, no intervalo de tempo de t1 até t2, t1 < t2.

O aumento de deslocamento é:

∆s = f(t2) – f(t1)

Para se ter o aumento por unidade de tempo, divide-se por ∆t = t2– t1:

2 1

2 1

t t

f(t ) f(t )

t

s











Este quociente é chamado taxa de variação média de f(t) entre t1 e t2, ou velocidade

média no intervalo entre t1 e t2.

A idéia de taxa de variação média da distância em relação ao tempo pode ser

generalizada e, assim, aplicada para quaisquer variáveis de qualquer espécie. (...)

3.2 Taxa de variação instantânea ou derivada

Em muitos problemas, não é satisfatório considerar a média de uma taxa de variação,

mas sim uma taxa de variação instantânea, ou seja, a rapidez com que y = f(x) varia em um

dado ponto x1. Considere a função f(x) = 5x2

. A taxa de variação média entre x1 e x, x1 ≠ x é:

2

OLIVEIRA, Edson de. Apontamentos de Cálculo I.