CALCULO 3

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto.

Relatório 1

Referente à ETAPA 01 da ATPS Cálculo III

Passo 1 (Equipe)

História do surgimento das Integrais

Uma breve história do estudo da Integral O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral. Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um círculo) com uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada.

Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande ideia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também. Arquimedes (287--212 a.C.), o maior matemático da Antigüidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de π. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos. Seu famoso resultado foi 3 10/71 < π < 3 1/7; mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, chamamos de método da compressão.

O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo duplo. No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes reconheceu que, por um lado, seu trabalho sugeria a verdade de seus resultados, e por outro faltava um rigor lógico completo). Se considerarmos uma destas regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então estas retas são chamadas de indivisíveis. Similarmente, quando a composição de um sólido tridimensional é pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero, então estes discos são conhecidos como indivisíveis.

Integral Definida

Calculando a velocidade a partir da distância percorrida. Isso nos leva a noção de derivada, ou taxa de variação, de uma função. Vamos considerar, agora, o problema inverso: dada a velocidade, como podemos calcular a distância percorrida? Isso nos leva ao nosso segundo conceito chave, a Integral Definida, que calcula a variação total de uma função a partir de sua taxa de variação. Então a integral definida pode ser usada para calcular não só à distância, como também muitas outras quantidades, tais como a área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função.

Podemos usar a integral definida para obter informação sobre uma função a partir de sua derivada. Calcular derivadas e calcular integrais definidas são, de certo modo, processos inversos um do outro.

Como medir a distância percorrida por um carro? Dados sobre a velocidade a cada dois segundos. Um carro esta se movendo com velocidade crescente. Medimos a velocidade do carro a cada dois segundos e obtermos os dados da tabela abaixo.

Velocidade do carro a cada dois segundos:

Tempo (s) 0 2 4 6 8 10

Velocidade (ft/s) 20 30 38 44 48 50

Quanto longe foi o carro? Como não sabemos a quanto depressa esta se movimentando em todos os instantes, não podemos calcular a distância exatamente, mas podemos fazer uma estimativa. A velocidade esta aumentando, de modo que o carro esta indo a, pelo menos, 20 ft/s (cerca de 6 m/s) durante os dois primeiros segundos. Como Distância = Velocidade X Tempo, o carro percorre, pelo menos, (20) (2) = 40 pés (cerca de 12 m) durante os dois primeiros segundos. Da mesma forma, ele percorre, pelo menos, (30) (2) = 60 pés durante os próximos dois segundos, e assim por diante. Durante o período de dez segundos, ele percorre, pelo menos, (20) (2) + (30) (2) + (38) (2) + (44) (2) + (48) (2) = 360 pés.

Portanto,