Calculo 1

Conceitos de Derivada

A “invenção” do conceito de calculo diferencial e integral (derivada, limite e integral) tradicionalmente, atribui – se a Newton e Leibniz, na segunda metade do século XVII, através da sistematização de métodos que tornaram possível a solução de problemas referentes a construção de tangentes, cálculo de áreas, volumes e etc. A derivada pode ser aplicada em especial na física e na matemática.

Por definição as derivadas representam a taxa de variação de uma função, traduzindo derivada, significa da onde provêm uma função qualquer ou de onde ela deriva, ou o que lhe deu origem.

• Derivada aplicada na Física:

Dentro do campo da física, a derivada pode ser aplicada em cinemática, como por exemplo calcular a velocidade de uma partícula através da derivada da equação horaria, mais uma das aplicações mais importantes, senão a mais importante é o conceito de derivada temporal que é a taxa de mudança ao longo do tempo, necessario para derivar aceleração, velocidade e espaço.

Exemplos: s(t) = −16t² + 16t + 32 V= s′(t) = −32t + 16

V= s′(t) = −32t + 16 a= s′′(t) = −32

• Derivada aplicada em Cálculo:

Em cálculo a derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ou seja ela representa a taxa de variação instantânea de uma função. O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente:

.

Exemplos:

f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x))

Exemplo Reta Tangente:

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (3,2), y=(x-1)/(x-2)

f'(a)=lim┬(h>0) ⁡(a+h-1)/(a+h-2)-(a-1)/(a-2)/h

f'(a)=lim┬(h>0)⁡ (a+h-1)/(a+h-2)-(a-1)/(a-2)/h=

f'(a)=lim┬(h>0) {[(a-2)(a+h-1)-(a+h-2)(a-1)]/(a+h-2)(a-2…

f'(a)=lim┬(h>0) {[a²+ah-a-2a-2h+2-(a²-a+ah

-h-2a+2)]/a²-2a+ah+2h+2a+4}/h=

f'(a)=lim┬(h>0) {(a²+ah-a-2a-2h+2-a²+a-ah+h+2a-2)/a²-4a+…‡

f'(a)=lim┬(h>0) {(-h)/[(a-2)²+ah}/h=

f'(a)=lim┬(h>0) (-1)/[(a-2)²+ah]=

f'(a)=(-1)/[(a-2)²

f(x)-f(x)1=f'(x)(x-x1) onde o f(x)1=2 e o x1=3 e f'(x)=-1

f'(3)=(-1)/[(3-2)²=-1

f(x)=f'(x)(x-x1)+f(x)1 => f(x)=-1.[x-(3)]+2 => f(x)=-x+3+2 => f(x)=-x+5

f'(x)=(-1)/[(x-2)²